Estadígrafos de tendencia central


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1 Estadígrafos de tendencia central Los estadígrafos de tendencia central que estudiaremos son la media, la mediana y la moda. Estos estadígrafos nos dan alguna idea de los datos que estamos estudiando. 1. Media aritmética La media aritmética también se llama media o promedio aritmético y es lo que siempre has ocupado para calcular el promedio de notas. La media aritmética se calcula dependiendo de cómo vengan los datos, pero en general es la suma de los datos dividida por el número de datos. Media aritmética de datos no agrupados La media de n datos corresponde al resultado de la expresión: Ejemplo: Pedrito ha obtenido las siguientes notas en Ciencias: 6,0 5,8 7 6,8 5,6

2 Su media aritmética o promedio es: décimo como 6,2., lo que se redondea al Media de datos dados en una tabla de frecuencia En este caso se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos, esto es: Ejemplo: Se ha lanzado un dado 40 veces obteniéndose los siguientes resultados:

3 Por lo tanto su media es: Media de datos agrupados en intervalos Se define la marca de clase de un intervalo como la media aritmética entre los extremos de él. Si llamamos a la marca de clase de un intervalo: agrupados en intervalos es:, entonces la media de un conjunto de datos Ejemplo: La distribución de edades de un conjunto de 50 personas está representada en el siguiente gráfico:

4 La media de este conjunto de datos es: aproximadamente. años, Media ponderada de datos En algunas oportunidades los datos no tienen la misma importancia, de modo que cada dato se multiplica por un factor, el cual indica el grado de importancia que tiene en la muestra; en este caso la media se calcula con la expresión: donde p i es un factor del dato x i, el cual viene dado en la situación planteada en el problema.

5 Ejemplo: Un alumno tiene nota 5,0 como promedio de controles que vale un 80% de la nota final y obtiene un 6,0 en el examen. Cuál es su promedio final? En este caso el dato 5,0 tiene un factor de 0,8 (80%) y el dato 6,0 tiene un factor de 0,2 (20%), por lo tanto su media es: Propiedades de la media Sean los n datos: x 1, x 2, x 3, x 4,...x n, con media. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1. La suma de los datos corresponden al producto:. Es decir, la suma de los datos se puede determinar multiplicando la media con el número de datos. 2. Si a cada uno de los datos se le suma (o resta) una cantidad a, la media aritmética será. 3. Si a cada uno de los datos se le multiplica por una cantidad a, la media aritmética será. Ejemplo: Un colegio tiene tres cuartos medios que en el último ensayo de Lenguaje obtuvieron los siguientes puntajes promedio:

6 Ocupando la propiedad 1: la suma de los puntajes del 4 A es la multiplicación del promedio con el número de alumnos, esto es: Suma = = Por lo tanto, la suma de todos los puntajes de los alumnos es: = Así, la media aritmética de los tres cursos es: Ejemplo: La media aritmética de las edades de tres hermanos es 25 años. Cuál será su media en tres años? Dada la propiedad 2, la media aritmética será 28 años. 2. Mediana Si los datos se ordenan en sentido creciente o decreciente, la mediana indica el dato que se ubica al centro de ellos.

7 Si el número de datos n es un número impar, entonces la mediana es el dato: Si el número de datos n es un número par, entonces la mediana es la media aritmética entre los datos: y. Las fórmulas anteriores las puedes obviar si tienes en cuenta que la mediana es el término central en el caso que este sea uno, o bien la media de los términos centrales en el caso que sean dos. Ejemplo 1: Las alturas de 6 integrantes de un equipo de básquetbol (en cm) son las siguientes: Cuál es la mediana? Primero ordenemos los datos de menor a mayor (o al revés): Como hay dos datos centrales, se calcula la media de ambos datos: Ejemplo 2: Se ha consultado la edad a treinta trabajadores de una empresa, obteniendo los siguientes resultados:

8 La suma de las frecuencias es 30, por lo tanto, es un número par de datos; la mediana es la media entre el dato de lugar 15 y el de lugar 16; el dato de lugar 15 es 23 y el de lugar 16 es 27, por lo tanto: 3. Moda La moda es el dato que más se repite, es decir, el que tiene mayor frecuencia. Volviendo al ejemplo 1: Las alturas eran: ; por lo tanto la moda es 182, ya que es el dato que más se repite. En el ejemplo 2:

9 La moda es 23, ya que tiene mayor frecuencia. Hay veces que los datos no tienen moda. Por ejemplo, si los datos fueran: , no hay un dato que tenga mayor frecuencia que los otros. Hay otras distribuciones que pueden tener más de una moda: Por ejemplo:

10 La moda es 16 y 20; y en este caso se habla de una distribución bimodal. INFORMACIÓN TÉCNICA Descripción Breve Los estadígrafos de tendencia central que estudiará en el siguiente recurso educativo son la media, la mediana y la moda. Contiene ilustraciones. Fuente:

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