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1 UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO Código: HOC 220 Ing. M.Sc. Reinaldo A. Clemente C. Tlfo:

2 1 Media Aritmética 2 Media Ponderada 3 Mediana 4 Moda

3 Son las magnitudes representativas de una distribución estadística referidos al comportamiento de sus valor intermedios, proporcionan una idea general de la cifra hacia la cual tienen todos los valores de la distribución. Se les conoce también como medidas de posición o promedios

4 Media Aritmética (Datos Simples) Es el promedio más usado debido a su mayor precisión matemática. Se basa en todos los valores de un conjunto de datos. Su representatividad depende de qué tan cercano estén los datos entre sí, por ello se ve afectada por valores extremos. Se calcula dividiendo la suma de valor entre el número de valores. _ X = Xi n

5 Ejemplo Media Aritmética (Datos Simples) Notas de un grupo de estudiantes en la asignatura estadística 12; 13; 14; 15; 16. Donde: Cada una de las calificaciones representan X, y n=5 por ser 5 calificaciones, entonces X ira de X 1 a X 5 Formula: X = Xi n _ X = = = 14 En conclusión, la calificación promedio alcanzada en Estadística es de 14 puntos

6 Media Aritmética (Datos Agrupados) El procedimiento utilizado para determinar la media aritmética tiene una variante cuando los datos recolectados se repiten una y otra vez, el procedimiento en este caso consiste en construir una distribución de frecuencia para los datos continuos, atendiendo el comportamiento de la frecuencia de cada resultado y a continuación determinar la media a través de la siguiente ecuación: _ X = Xi * fi n

7 Ejemplo Media Aritmética (Datos Agrupados) Una encuesta entre un grupo de madres-solteras, para analizar los problemas económicos que enfrentan, en determinada comunidad; arrojó los siguientes resultados acerca del número de niños en el hogar, 1; 4; 2; 3; 5; 3; 5; 3; 3; 5; 1; 1; 2; 1; 4; 1; 2; 1; 4; 1; 2; 1; 1; 2; 1; 2; 3; 2; 3; 3; 3; 1; 3; 4; 1; 1; 3; 5; 4; 2; 2; 5; 1; 4; 2; 3; 1; 2; 5; 1

8 Ejemplo Media Aritmética (Datos Agrupados) Lo primero es clasificar cada una de las madres-solteras agrupadas según el número de hijos en las categorías respectivas, es decir, de 1 a 5 Calificación (Xi) Conteo fi 1 IIII IIII IIII I 16 2 IIII IIII I 11 3 IIII IIII I 11 4 IIII I 6 5 IIII I 6 50 Formula: _ X = Xi * fi n X = 1*16 + 2*11 + 3*11 + 4*6 + 5* = = =2,5 En conclusión, el promedio es de 2,5 hijos por cada madre-soltera

9 Ejemplo Media Aritmética (Datos Agrupados) Lo primero es clasificar cada una de las madres agrupadas según el número de hijos en las categorías respectivas, es decir, de 1 a 5 Calificación (Xi) Conteo fi Xi*fi 1 IIII IIII IIII I IIII IIII I IIII IIII I IIII I IIII I Formula: _ X = Xi * fi n X = 125 = 2,5 50 En conclusión, el promedio es de 2,5 hijos por cada madre-soltera

10 Media Aritmética (Datos Agrupados) Otra variante para el calculo de la media aritmética, es cuando se tiene una serie de datos agrupados en clases al igual que la anterior se ha de construir una distribución de frecuencia para los datos discretos, donde se deberá utilizar una nueva columna. donde se calcule el punto medio (Xm, PM o X ) de cada clase y determinar la media a través de la siguiente ecuación: _ X = Xm * fi n

11 Ejemplo Media Aritmética (Datos Agrupados) Lo primero es clasificar cada una de las madres agrupadas según el número de hijos en las categorías respectivas, es decir, de 1 a 5 Clases fi Xm Xm*fi Formula: Xm = LS+li 2 Formula: _ X = Xi * fi n X = 72 = 8 9 En conclusión, el promedio es de 8 por XXXXXXXXXX

12 Media Ponderada (Xp Xp) Cuando cada uno de los valores en una serie de datos se les asigna una ponderación de acuerdo con la importancia relativa en el grupo, la media calculada se denomina media ponderada. Para calcular este promedio es necesario hacer lo siguiente: Multiplicar cada valor por la ponderación asignada al valor respectivo y todos esos productos sumarlos. Sumar todas las ponderaciones. Calcular la media ponderada mediante la siguiente ecuación Xp = Pi * Xi Pi.

13 Ejemplo Media Ponderada En la siguiente tabla se presentan las calificaciones obtenidas por un alumno del Núcleo Táchira en el lapso B-2009, Calcular la media ponderada del participante? Asignaturas Calificación Unidades Crédito Extensión Deportiva 10 1 Geometría 7 3 Toma de Decisiones 8 3 Estadística 9 4 Fase de Ejecución 4 6 Investigación Educativa 6 4

14 Ejemplo Media Ponderada Asignaturas Calificación Unidades Crédito Extensión Deportiva 10 1 Geometría 7 3 Toma de Decisiones 8 3 Estadística 9 4 Fase de Ejecución 4 6 Investigación Educativa 6 4 Formula Xp = Pi * Xi Pi 10*1 + 7*3 + 8*3 + 9*4 + 4*6 + 6* X = = = = 6, Suma de cada uno de los valores de las ponderaciones El participante obtuvo un índice académico en el laso B-2009 de 6,62

15 Mediana (Me Me) La mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana, al igual que la media, puede calcularse en serie de datos agrupados y no agrupados.

16 Mediana (Me Me) ) {Datos No Agrupados} Sean los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como Me, distinguimos dos casos: a. Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: x 1 = 3, x 2 = 6, x 3 = 7, x 4 = 8, x 5 = 9 => El valor central es el tercero:. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (x 1, x 2 ) y otros dos por encima de él (x 4, x 5 ). X 1 X 2 X 3 X 4 X

17 Mediana (Me Me) ) {Datos No Agrupados} b. Si n es par, la mediana es la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones y. Es decir: Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: x 1 = 3, x 2 = 6, x 3 = 7, x 4 = 8, x 5 = 9, x 6 = 10 => Hay dos valores que están por debajo del X 6/2 = X 3 = 7 y otros dos que quedan por encima del siguiente dato X (6/2)+1 = X 4 = 8. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: Me = X 3 + X = = 7,5 2 2 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X

18 Mediana (Me Me) ) {Datos Agrupados - Simples} Cuando los datos se organizan en función del rol de su frecuencia, la mediana se obtiene mediante la siguiente ecuación: Me = Xsr - f a - N * p f i * i Donde: Me = valor de la mediana = = Xsr = Limite superior real del valor que toma la variable fa = Frecuencia acumulada N = Número de casos de la distribución en estudio P = 50% ó 0,5, posición según definición de la mediana Fi = Frecuencia absoluta correspondiente i = Intervalo que corresponda a la posición de la mediana

19 Mediana (Me Me) ) {Datos Agrupados - Simples} Ejemplo: Supongamos que luego de realizar los respectivos conteos obtenemos la siguiente tabla de distribución: Xi fi fa Calculamos la Frecuencia Acumulada (fa fa). 2. Ubicamos la posición aproximada de la mediana, que viene dada por el producto de N * p, para nuestro caso de estudio (11 * 0,5 = 5,5 )

20 Mediana (Me Me) ) {Datos Agrupados - Simples} Xi fi fa Ubicamos este valor en la tabla de distribución de frecuencia en la columna de las frecuencias acumuladas y la primera fila que contenga una cantidad igual o mayor a 5,5 (en este caso es 6) es donde se localiza la posición de la mediana

21 Mediana (Me Me) ) {Datos Agrupados - Simples} Xi fi fa Luego calculamos el limite superior real (Xsr Xsr), el cual lo obtenemos de : Xsr = i 2 + Lc Me Para este caso el i = 1, esto de la resta de 14 (Ls Ls) 13 (LcMe LcMe) = 1 Sustituyendo: Xsr = = 13,5

22 Mediana (Me Me) ) {Datos Agrupados - Simples} Xi fi fa Datos: Xsr = 13,5 fa = 6 N = 11 P = 0,5 fi = 2 i = 1

23 Mediana (Me Me) ) {Datos Agrupados - Simples} Xi fi fa Datos: Xsr = 13,5 fa = 6 N = 11 P = 0,5 fi = 2 i = 1 5. Sustituimos en la formula: Me = Xsr - f a - N * p f i * i 13, * 0,5 Me = * ,5-6 5,5 Me = * ,5-0,5 Me = * 2 1 Me = 13,5-0,25 = 13,25

24 Mediana (Me Me) ) {Datos Agrupados - Clases} Ejemplo: Supongamos que luego de realizar los respectivos conteos obtenemos la siguiente tabla de distribución: Clase fi fa Calculamos la Frecuencia Acumulada (fa fa). 2. Ubicamos la posición aproximada de la mediana, que viene dada por el producto de N * p, para nuestro caso de estudio (8* 0,5 = 4 ), recodemos que es igual a que hagamos N/2 (8/2 = 4)

25 Mediana (Me Me) ) {Datos Agrupados - Clases} Clase fi fa Luego calculamos el limite inferior ior real (Xir Xir), el cual lo obtenemos de: Xir = li + ls cme ca Xir = 11 = = 6,5 2 2

26 Mediana (Me Me) ) {Datos Agrupados - Clases} Clase fi fa Datos: Xir = 6,5 fa a = 2 N = 8 P = 0,5 fi = 2 i = 3

27 Mediana (Me Me) ) {Datos Agrupados - Simples} Clase fi fa Datos: Xir = 6,5 fa a = 2 N = 8 P = 0,5 fi = 2 i = 3 5. Sustituimos en la formula: Me = Xir + (N/2) fa a * i 6,5 + 8 * 0,5-2 Me = * 3 2 6, Me = * 2 3 6,5 + 2 Me = * 2 3 Me =6,5 + 3 = 9,5 f i

28 Moda (Mo Mo) La moda es el valor que mas se repite en una distribución, el valor de más alta frecuencia, en un conjunto de valores, no se calcula tomando en cuenta todos los valores. Si se trata de datos agrupados en clase se puede determinar mediante un histograma, como se muestra a continuación:

29 Moda (Mo Mo) Localización gráfica de la moda 10 9 Clase Modal d i f i -1 = 4 di 1 0 F i+1 = ,7

30 Moda (Mo Mo) {Datos No Agrupados} Ejemplo: Hallar la Mo de los puntajes obtenidos por un grupo de alumnos: 12, 15, 18, 15, 14, 15, 13, 17, 16, 15, 14, 16, 17. Nótese que le valor que más se repite es 15, por ello Mo = 15

31 Moda (Mo Mo) {Datos Agrupados} Para el calculo de la Mo en datos agrupados ha de realizarse una serie de pasos que se detallan a continuación: 1. Se reúnen los datos en clases, determinando las frecuencias simple (fi). 2. Ubicamos la clase modal (Es la clase que contiene mayor frecuencia simpel). 3. Ubicamos el límite inferior de la clase modal. 4. Determinamos a f i+1, que significa el valor de la frecuencia simple de la clase i+ que sigue y es superior a la clase modal. 5. Determinamos a f i-1, que significa el valor de la frecuencia simple de la clase que antecede y es inferior a la clase modal. 6. Se aplica la siguiente formula: Mo = li + F i+1 F i-1 + F i+1 * i

32 Moda (Mo Mo) Ejemplo: Hallar la Mo en la siguiente distribución: Clases Fi N = 90 Para el calculo de la Mo en datos agrupados ha de realizarse una serie de pasos que se detallan a continuación: 1. Se reúnen los datos en clases, determinando las frecuencias simple (fi). 2. Ubicamos la clase modal Ubicamos el límite inferior de la clase modal Determinamos a f i+1 = Determinamos a f i-1 = Intervalo de clase I c = 4 7. Se aplica formula: Mo = * 4 = 69,

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