Estadística ESTADÍSTICA


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1 ESTADÍSTICA La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones. Un estudio estadístico consta de las siguientes fases: Recogida de datos. Organización y representación de datos. Análisis de datos. Obtención de conclusiones. 1 CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA Población Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico. Individuo Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población. Muestra Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población. Muestreo El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población. Valor Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.

2 Dato Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz. VARIABLES ESTADÍSTICAS Variable cualitativa Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos: 2 Variable cualitativa nominal Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden. Variable cuantitativa Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos: Variable discreta Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Variable continua Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números.

3 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS Las distribuciones de frecuencias son tablas que resumen los datos originales en frecuencias. Los tipos de frecuencia pueden ser: - Frecuencia Absoluta (f).- Es el número de veces que se repite el valor de cada variable. La suma de frecuencias absolutas es siempre al total de datos observados. 3 - Frecuencia Relativa (fr).- Indica la proporción con que se repite un valor. Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. La suma de las frecuencias relativas es siempre 1 - Frecuencia Acumulada (fa).- Indica el número de valores que son menores o iguales que el valor dado. Es la suma de la frecuencia absoluta primera con la segunda, este valor con la tercera, y así sucesivamente. - Frecuencia Porcentual (f%).- Llamada también frecuencia relativa porcentual. Se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 100. La suma de las frecuencias porcentuales es siempre 100%. Se calcula así: f% = fr Frecuencia Relativa Acumulada (fra).- Es la suma de la frecuencia relativa primera con la segunda, este valor con la tercera, y así sucesivamente. - Frecuencia Relativa Acumulada Porcentual (fra%).- Indica el número de valores que son menores o iguales que el valor dado. Se obtiene multiplicando la frecuencia relativa acumulada por 100. Se calcula así: DIAGRAMA DE BARRAS Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

4 Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas. Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia. Ejemplo Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado: 4 Grupo sanguíneo f i A 6 B 4 AB POLÍGONOS DE FRECUENCIA Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos. También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

5 Ejemplo Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones: Hora Temperatura 6 7º DIAGRAMA DE SECTORES Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

6 El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos. Ejemplo En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte. 6 Alumnos Ángulo Baloncesto Natación 3 36 Fútbol Sin deporte 6 72 Total HISTOGRAMA Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.

7 Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases. En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo. La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. POLÍGONO DE FRECUENCIA 7 Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo. Ejemplo El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla: c i f i F i [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)

8 65 8 Histograma y polígono de frecuencias acumuladas Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.

9 9 Histogramas con intervalos de amplitud diferente Para construir un histogramas con intervalo de amplitud diferente tenemos que calcular las alturas de los rectángulos del histograma. h i es la altura del intervalo. f i es la frecuencia del intervalo. a i es la amplitud del intervalo. Ejemplo En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos.

10 f i h i [0, 5) 15 3 [5, 7) [7, 9) [9, 10) PARÁMETRO ESTADÍSTICO Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística. Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica. Tipos de parámetros estadísticos Hay tres tipos parámetros estadísticos: De centralización. De posición De dispersión. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

11 La medidas de centralización son: Media aritmética La media es el valor promedio de la distribución. Mediana La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales. 11 Moda La moda es el valor que más se repite en una distribución. MEDIDAS DE POSICIÓN Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor. La medidas de posición son: Cuartiles Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. Deciles Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.

12 Percentiles Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución. 12 Las medidas de dispersión son: Rango o recorrido El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística. Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. Varianza La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media. Desviación típica La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. MEDIA ARITMÉTICA La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

13 es el símbolo de la media aritmética. 13 Ejemplo Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio. Media aritmética para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es: Ejercicio de media aritmética En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

14 Intervalo x i f i x i f i [10, 20) [20, 30) [30,40) [40, 50) [50, [60,70) [70, 80) Propiedades de la media aritmética 1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero. La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0: =

15 = = 0 2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número. 4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número. Observaciones sobre la media aritmética 1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas. 2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos. 3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos: 65 kg, 69kg, 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg. La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución. 4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

16 x i f i [60, 63) [63, 66) [66, 69) [69, 72) [72, ) En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo. MEDIANA Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por M e. La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas. Cálculo de la mediana 1 Ordenamos los datos de menor a mayor. 2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

17 3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. 7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5 Cálculo de la mediana para datos agrupados 17 La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana. es la semisuma de las frecuencias absolutas. F i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. a i es la amplitud de la clase. La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos. Ejemplo Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

18 f i F i [60, 63) 5 5 [63, 66) [66, 69) [69, 72) [72, 75) /2 = 50 Clase de la mediana: [66, 69) MODA La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por M o. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas. Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 M o = 4

19 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9M o = 1, 5, 9 Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda. 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9 19 Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes. 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4 Cálculo de la moda para datos agrupados 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud. L i es el límite inferior de la clase modal. f i es la frecuencia absoluta de la clase modal. f i--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal. f i-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal. a i es la amplitud de la clase. También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

20 Ejemplo Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla: f i [60, 63) 5 [63, 66) [66, 69) 42 [69, 72) 27 [72, 75) º Los intervalos tienen amplitudes distintas. En primer lugar tenemos que hallar las alturas. La clase modal es la que tiene mayor altura.

21 La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es: 21 Ejemplo En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda. f i h i [0, 5) 15 3 [5, 7) [7, 9) 12 6 [9, 10)

22 CUARTILES Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. Q 1, Q 2 y Q 3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos. Q 2 coincide con la mediana. 22 Cálculo de los cuartiles 1 Ordenamos los datos de menor a mayor. 2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión. Número impar de datos 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9 Número par de datos 2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

23 Cálculo de los cuartiles para datos agrupados En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra frecuencias acumuladas., en la tabla de las 23 L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil. N es la suma de las frecuencias absolutas. F i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil. a i es la amplitud de la clase. Ejercicio de cuartiles Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:

24 f i F i [50, 60) 8 8 [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) 5 63 [110, 120) Cálculo del primer cuartil Cálculo del segundo cuartil

25 Cálculo del tercer cuartil 25 DECILES Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos. D 5 coincide con la mediana. Cálculo de los deciles En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra frecuencias acumuladas., en la tabla de las L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil. N es la suma de las frecuencias absolutas. F i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil..

26 a i es la amplitud de la clase. Ejercicio de deciles Calcular los deciles de la distribución de la tabla: f i F i 26 [50, 60) 8 8 [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) 5 63 [110, 120) Cálculo del primer decil

27 Cálculo del segundo decil 27 Cálculo del tercer decil Cálculo del cuarto decil Cálculo del quinto decil

28 Cálculo del sexto decil Cálculo del séptimo decil 28 Cálculo del octavo decil Cálculo del noveno decil

29 PERCENTILES Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. P 50 coincide con la mediana. 29 Cálculo de los percentiles En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra frecuencias acumuladas., en la tabla de las L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil. N es la suma de las frecuencias absolutas. F i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil. a i es la amplitud de la clase. Ejercicio de percentiles Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:

30 f i F i [50, 60) 8 8 [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) 5 63 [110, 120) Percentil 35 Percentil 60

31 Desviación respecto a la media La desviación respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética. D i = x - x 31 Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. La desviación media se representa por Ejemplo Calcular la desviación media de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

32 Desviación media para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es: 32 Ejemplo Calcular la desviación media de la distribución: x i f i x i f i x - x x - x f i [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)

33 VARIANZA La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza se representa por. 33 Varianza para datos agrupados Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores. Varianza para datos agrupados Ejercicios de varianza Calcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

34 Calcular la varianza de la distribución de la tabla: 34 x i f i x i f i x i2 f i [10, 20) [20, 30) [30,40) [40, 50) [50, [60,70) [70, 80)

35 Propiedades de la varianza 1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. 2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía. 3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño: Si las muestras tienen distinto tamaño: Observaciones sobre la varianza 1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas. 2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza. 3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

36 DESVIACIÓN TIPICA La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación. La desviación típica se representa por σ. 36 Desviación típica para datos agrupados Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores. Desviación típica para datos agrupados Ejercicios de desviación típica Calcular la desviación típica de la distribución:

37 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla: 37 x i f i x i f i x i2 f i [10, 20) [20, 30) [30,40) [40, 50) [50, 60) [60,70) [70, 80)

38 Propiedades de la desviación típica 1.- La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. 2.- Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía. 3.- Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño: Si las muestras tienen distinto tamaño: Observaciones sobre la desviación típica 1 La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas. 2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica. 3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.

39 Coeficiente de variación El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes: 39 El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas. Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí. La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor. Ejercicio Una distribución tiene x = 140 y σ = y otra x = 150 y σ = 25. Cuál de las dos presenta mayor dispersión? La primera distribución presenta mayor dispersión.

40 Puntuaciones típicas Puntuaciones diferenciales Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética. x i = X i X Puntuaciones típicas 40 Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación. Las puntuaciones típicas se representan por z. Observaciones sobre puntuaciones típicas La media aritmética de las puntuaciones típicas es 0. La desviación típica de las puntuaciones típicas es 1. Las puntuaciones típicas son adimensionales, es decir, son independientes de las unidades utilizadas. Las puntuaciones típicas se utilizan para comparar las puntuaciones obtenidas en distintas distribuciones. Ejemplo En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y 54.4 kg. Las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es de 70 kg y el de Ana es 65 kg. Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más grueso?

41 José es más grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo. 41

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