Muestra: Es un subconjunto de la población, que debe ser representativa y aleatoria.


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1 Estadística La estadística es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y comunicación de conjuntos de datos Definiciones Población: Es un conjunto, cuyos elementos poseen alguna característica común que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de métodos, de medidas, de producciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas. Muestra: Es un subconjunto de la población, que debe ser representativa y aleatoria. Variable Cualitativa: Se refieren a un atributo (no son numéricas), por ejemplo: sexo, nacionalidad, profesión, etc. Variable cuantitativa: Tienen un valor expresado por un número real, por ejemplo: peso, temperatura, salario, etc. Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos: Discretas: Toman solo valores enteros, por ejemplo: número de hijos, número de departamentos en un edificio, etc. Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor real, por ejemplo: el peso, la estatura, etc. Tabulación de datos La tabulación consiste en presentar los datos estadísticos en forma de tablas o cuadros. Algunos conceptos importantes a considerar en ella son: Frecuencia (n i ): Número de veces que se repite un dato (también se le denomina frecuencia absoluta) Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores de la variable y el total de datos Frecuencia acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuencias absolutas hasta la que ocupa la última posición Frecuencia relativa acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la última posición Amplitud del intervalo: Es la diferencia entre los límites superior e inferior Marca de Clase: Es el valor central (promedio aritmético) entre los límites superior e inferior de cada intervalo

2 Medidas de tendencia central Media aritmética: Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el número de datos. Para encontrar la media aritmética con datos organizados en una tabla de frecuencias, siendo los datos: x 1,x 2,x 3,...,x n, y las frecuencias respectivas: f 1,f 2,f 3,...,f n, entonces la media aritmética es: X = n i=1 x i f i N Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite. Si no hayundatoquetengamayorfrecuenciaqueotrosedicequeladistribucióndefrecuenciaesamodal Mediana (Me): Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de los dos términos centrales Representación gráfica de datos Pictogramas: Se aplican a las variables de tipo cualitativo y aquellas de tipo cuantitativo que plantean comparaciones. Utilizan para su grafismo representaciones de las variables, de tamaño proporcional a la frecuencia con que aparece cada uno. Gráfico por sectores (torta): La representación gráfica se hace por medio de un círculo, dividido en sectores de áreas proporcionales a las frecuencias de la variable.

3 Diagrama de barras: Se utiliza para variables discretas. Los valores de la variable aparecen, junto con su frecuencia, representados en forma de barras o segmentos, de longitud proporcional a la frecuencia. Histogramas: Mediante un histograma se representa gráficamente las distribuciones de frecuencias de variables estadísticas continuas. Se construyen rectángulos que tienen como bases cada intervalo de la variable y como alturas las respectivas frecuencias de dichos intervalos. Polígono de frecuencias: Cada par ordenado (Variable,Frecuencia)=(x i,f i ) da origen a un punto del diagrama cartesiano. Al unir dichos puntos por medio de una línea poligonal, se obtiene un polígono de frecuencias.

4 Medidas de localización Los cuantiles son medidas de posición o localización que no necesariamente son centrales, pero informan acerca de como distribuyen los datos. Cuartiles: Son valores de la variable que dividen a la distribución en cuatro partes iguales, por lo tanto los cuartiles son tres C 1 que deja por detrás de él al 25% de la población, C 2 que divide a la población en dos partes iguales y C 3 que deja atrás al 75% de la población. Deciles: Son valores e la variable que dividen a la distribución en diez partes iguales, por lo tanto los deciles son nueve, D 1 deja al 10% antes, D 2 al 20% y así sucesivamente hasta D 9 que deja al 90% antes y al 10% después de él. Percentiles: Son valores de la variable que dividen a la distribución en cien partes iguales, por lo tanto los percentiles son 99. En realidad tanto cuartiles como deciles se calculan con el correspondiente percentil. D 1 = P 10 D 9 = P 90 C 1 = P 25 C 2 = D 5 = P 50 = ME. Medidas de dispersión Las medidas de dispersión nos indican el mayor o menor alejamiento de los valores de una variable respecto a un promedio. Casi siempre acompañando a un promedio debe ir una medida de dispersión que nos indica la mayor o menor representatividad del promedio. Las medidas de dispersión absoluta más utilizadas son: Rango o recorrido. Recorrido intercuartílico. Desviación media. Varianza. Desviación típica. Rango o recorrido: Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. R = x n x 1 Recorrido intercuartílico: Es la diferencia entre el tercer y primer cuartil. R I = Q 3 Q 1 Desviación media: Es la suma de los valores en valor absoluto de la diferencia entre cada valor de la variable y la media aritmética por su frecuencia y dividido por el número de datos. n ( xi X ) f i D X = i=1 N

5 Varianza: Corresponde al promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada dato y el promedio del conjunto dado. n ( xi X ) 2 fi σ 2 = i=1 N Propiedades: 1. La varianza siempre es mayor o igual que cero. Tan solo hay un caso en que es cero y es cuando todos los valores de la variable son iguales. 2. Si a los valores de la variable le sumo una constante, la varianza de la nueva variable es la misma que la que tenía antes. 3. Si a los valores de la variable se les multiplica por una constante, la varianza de la nueva variable es la que tenía por el cuadrado de la constante. 4. la varianza de la variable Y = ax+b es la varianza de X multiplicada por el cuadrado de a. 5. Cálculo abreviado de la varianza que es la fórmula más utilizada: σ 2 = n i=1 n x 2 i X 2 Desviación típca o estandar (σ): Es la raíz cuadrada positiva de la varianza y es la medida de dispersión más utilizada. n ( xi X ) 2 fi i=1 σ = N Coeficiente de variación de Pearson: Nos indica la mayor o menor homogeneidad de los datos respecto de la media y por lo tanto nos entrega la representatividad de la media de la distribución. CV x = σ x X

6 EJERCICIOS 1. Si se suman las edades de 8 personas y ese resultado se divide por 8, qué se obtiene? a) Mediana b) Media Aritmética c) Moda d) Media geométrica e) Desviación estándar 2. El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. Cuánto pesa el quinto si la suma de los 4 primeros es 302? a) 78 b) 68 c) 62 d) 58 e) La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 17 años. II) La mediana es mayor que la media (promedio). III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años. b) Solo II c) Solo I y II d) Solo II yiii Edad ( en años ) Alumnos Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio 20 kg. En la oficina de control se pierde una ficha y se sabe que el promedio del resto es 19 kg, cuál es el peso del niño al que le perdieron la ficha? a) 39 kg b) 29 kg c) 21 kg d) 20 kg e) 19 kg

7 5. El gráfico circular de la figura muestra las preferencias de 30 alumnos en actividades deportivas. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)? I) La frecuencia relativa del grupo de fútbol es de 40%. II) La frecuencia relativa del grupo de básquetbol es de 30%. III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III 6. El gráfico de la figura apareció en un periódico de una ciudad. En él se indica la preferencia por el noticiero central de cinco canales de televisión, según una muestra aleatoria, en un año determinado. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) De acuerdo a la muestra el noticiero central con menor probabilidad de ser visto es TV5. II) El gráfico muestra exactamente la realidad de las preferencias de los noticieros centrales de esta ciudad. III) Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los noticieros centrales de estos cinco canales. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III 7. Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de los alumnos de un curso, cuál de las opciones siguientes es siempre verdadera? a) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso. b) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina. c) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más frecuente. d) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más frecuente. e) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.

8 8. Se pregunta a los alumnos de 4 o Medio acerca de lo que más les gusta hacer en vacaciones y sus respuestas están en el gráfico de la figura. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es chatear. II) A la mitad de los alumnos lo que más les gusta es ver TV o jugar. III) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es leer o jugar. a) Sólo II b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo II y III 9. La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por los alumnos de un curso en una prueba de matemática. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El total de alumnos que rindió la prueba es 40. II) La mediana se encuentra en el intervalo III) El intervalo modal (o clase modal) es el intervalo a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III Intervalos de puntaje Frecuencia El gráfico de la figura muestra la distribución de las notas de matemática de un grupo de 46 estudiantes. Cuál de las siguientes opciones corresponde a los valores de la mediana y la moda, respectivamente? a) 4 y 5 b) 5 y 5 c) 4,1 y 4 d) 4,1 y 5 e) 4 y 4,5

9 11. Tres cursos rindieron una misma prueba obteniéndose los resultados que se indican en la tabla adjunta. Cuál es el promedio total de la prueba? a) 4,25 b) 5,00 c) 5,16 d) 5,25 Curso Número de alumnos Promedio P 20 6 Q 18 5 R 12 4 e) 5, Los resultados obtenidos por un curso en una prueba de Física fueron: 4; 5; 6; 6; 5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? a) Sólo II b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo II y III I) La mediana es 7 II) La moda es 5 III) La media aritmética (o promedio) es La tabla adjunta muestra las frecuencias (f) de las notas en la prueba de matemática, obtenidas por los alumnos de 4 o Medio de un liceo, Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5. II) La moda corresponde a la nota 5,0. Nota Frecuencia 3,0 3 III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5. 3,5 5 IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0. a) Sólo II y III 4,0 5, ,5 5,5 6 5 b) Sólo III y IV 6,0 6,5 4 4 c) Sólo I, II y III 7,0 2 d) Sólo I, II y IV Total alumnos 40 e) Sólo II, III y IV 14. El cuadro siguiente muestra el número de artículos vendidos en distintos días de la semana y uno de sus valores acumulados Cuántos artículos se han vendido en total hasta el término del día miércoles? a) 24 b) 20 c) 30 d) 8 e) Ninguna de las anteriores Días N de artículos Total acumulado Lunes Martes Miércoles 8 Jueves 6

10 15. Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos. En uno de ellos, con 20 estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la nota promedio fue 5. Entonces, la nota promedio correspondiente al total de alumnos de ambos cursos es: a) 5,7 b) 5,6 c) 5,5 d) 5,4 e) 5,3 16. El gráfico de la figura representa la distribución de las notas obtenidas por 15 niños en una prueba. Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) 9 niños obtuvieron notas mayores o iguales a 5. II) La moda es la nota 5. III) La quinta parte del curso obtuvo nota inferior a 4. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I, III e) Sólo I, II y III 17. Se compran 5 pantalones a $5,000, $8,000, $10,000, $10,000y$15,000. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? a) Sólo I b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo I y III I) La moda es $10,000. II) La mediana es $10,000. III) El promedio es $9, En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución de edades. La moda y la mediana de las edades de ese grupo son: moda mediana a) b) c) d) 5 1 e) Edad Frecuencia

11 19. El promedio (media aritmética) de los números 3; 2; 5; 5 y 6 es: a) 4 b) 4,2 c) 5 d) 5,25 e) ninguno de los anteriores. 20. La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos de 45 personas de una empresa. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? Tramo Número de personas Sueldo en pesos (desde - hasta) A 3 5,000,000 7,000,000 B 2 2,000,000 3,000,000 C 5 800,000 1,200,000 D , ,000 E , ,000 F 7 150, ,000 I) Hay exactamente 20 personas que ganan a lo menos $400,000desueldo. II) La mediana de la distribución se encuentra en el tramo D. III) El total que se paga a las personas del tramo A es, a lo más, $21,000,000. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) Sólo II y III 21. Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0 y 4,0. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Su media aritmética (o promedio) es 4,5. II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia. III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III

12 22. A dos cursos distintos se les aplicó la misma prueba en iguales condiciones, obteniéndose las desviaciones estándares que se muestran en la tabla adjunta. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El curso Q es el más homogéneo. II) El curso R es el más homogéneo. III) El curso Q presenta mayor dispersión en las notas. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III e) Ninguna de ellas Curso Promedio Desviación estandar Q 4,6 1 R 5,2 0,8 23. El gráfico de la figura, representa la distribución de los puntajes obtenidos por un curso en una prueba. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El 40% de los alumnos obtuvo 30 puntos. II) 30 alumnos obtuvieron más de 20 puntos. III) 1 10 de los alumnos obtuvo 10 puntos. b) Solo III c) Solo I y III d) Solo II y III 24. La tabla adjunta muestra la frecuencia de las notas de una asignatura de un curso de 38 alumnos, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I La mediana de las notas es 4. II La moda de las notas es 5. III Más de un tercio del curso obtuvo nota menor que 4. b) Solo II c) Solo I y II d) Solo II y III Notas Frecuencia

13 25. Se ha lanzado un dado 100 veces y se obtuvo la tabla de resultados cara/frecuencia. cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?: I) El 50% de las veces se obtuvo un número par. II) El 30% de las veces resultó 1 o 3. III) El 20% de las veces salió el número 5. II b) Solo I y II c) Solo I y III d) Solo II y III Cara Frecuencia Si las edades de ocho personas se suman y se dividen por ocho, qué indicador estadístico se obtiene? a) La moda b) La media aritmética (o promedio) c) La mediana d) El rango e) La desviación estándar 27. En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución de edades Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de los alumnos de esta muestra? a) E 1 +E 2 +E 3 +E 4 4 b) E 1 +E 2 +E 3 +E 4 N 1 +N 2 +N 3 +N 4 c) N 1 E 1 +N 2 E 2 +N 3 E 3 +N 4 E 4 N 1 +N 2 +N 3 +N 4 d) N 1 E 1 +N 2 E 2 +N 3 E 3 +N 4 E 4 4 Edad Frecuencia E 1 N 1 E 2 N 2 E 3 N 3 E 4 N 4 e) N 1 +N 2 +N 3 +N 4 4

14 28. El gráfico siguiente muestra los precios de cierto producto durante el primer semestre de este año. Cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El precio más alto fue en Abril. II) El precio más bajo se registró en Junio. III) La mayor diferencia ocurrió en Mayo. b) Solo II c) Solo III d) I y II e) Ninguna de las anteriores. 29. En qué empresa los sueldos de los empleados son más homogéneos? a) b) c) d) e) 30. Se realizó un estudio en una empresa acerca de los años de estudio de sus obreros, obteniéndose los siguientes resultados. Cuál o cuales de las siguientes aseveraciones es (son) verdaderas? I) Se encuestaron 24 obreros. II) 17 obreros tienen 10 o más años de estudio. III) 6 obreros tienen 8 ó 12 años de estudio. b) Solo II c) Solo III d) II y III

15 31. La información sobre las notas obtenidas por 15 alumnos de un curso está dada en la tabla adjunta. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) I Dos tercios de los alumnos obtuvieron notas 4 ó 5 II 12 alumnos obtuvieron notas inferiores a 6 III 9 alumnos obtuvieron notas iguales o superiores a 5 I b) Solo I y II c) Solo I y III d) Solo II y III Notas Frecuencia En la tabla adjunta, se muestran las respuestas a una pregunta de una encuesta aplicada a un curso de 45 estudiantes, en relación a la expresión. En la asignatura de matemática nos dan más tareas que en las otras asignaturas. El porcentaje de estudiantes que está de acuerdo o totalmente de acuerdo con dicha expresión es, aproximadamente, el: a) 42,2% Respuestas Frecuencia b) 26% Totalmente de acuerdo 7 c) 26,7% De acuerdo 12 Indiferente 5 d) 57,8% En desacuerdo 16 e) 19% totalmente en desacuerdo El gráfico circular de la figura muestra el resultado de una investigación sobre el color del cabello de personas. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) 360 personas tienen el cabello rubio. II) Más del 50% de las personas tienen el cabello rubio o negro. III) Hay tantas personas con el cabello rubio como personas con el cabello castaño. II b) Solo I y II c) Solo I y III d) Solo II y III 34. Cuál es el promedio (o media aritmética) entre los números 0,025;0,035;0,045y0,055? a) 0,004 b) 0,08 c) 0,04 d) 0,4 e) 0,8

16 35. Dados los siguientes datos : , la desviación típica es: a) b) 4 c) 3 d) 1 3 e) Tres muestras de datos han arrojado los siguientes parametros: I) x = 30, σ = 5 II) x = 30, σ = 3 III) x = 30, σ = 10 Cual de las siguientes es(son) la(s) más dispersa(s)? b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Todas son presentan igual dispersión. 37. Dados los datos 1,3,5,7 y 9. si a cada uno le sumamos 10, podemos decir que: b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Solo I y III I) La nueva media aritmetica es 10. II) La nueva mediana es 9. III) La nueva desviación tipica es Una muestra tiene los siguinetes datos: 2, 4, 6, 8, 5, 5, 7, 3, 5, 5. Por lo tanto el valor del rango es: a) 4 b) 5 c) 6 d) 10 e) No se puede determinar 39. Si se calcula la sumatoria de todas las diferencias al cuadrado, entre el promedio y cada uno de los dartos de una muestra, y posteriormente se calcula la raiz cuadrada del cuociente entre esta sumatoria y el total de datos, se obtiene: a) La mediana. b) El rango. c) La varianza. d) La desviación estándar. e) La media ponderada.

17 40. Si en una muestra de datos, todos son iguales Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdaderas? I) La media aritmetica es 0. II) La media, mediana y moda son iguales. III) La desviación tipica es 0. b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Solo II y III 41. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos por dos cursos en un examen. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas? Curso Promedio Varianza A 6 0, 36 B 6,5 1 I) El curso A es el más homogéneo. II) El curso B presenta menor dispersión en las notas. III) El promedio aproximado del total de alumnos de los dos curso es 6,3. b) Solo II c) Solo III d) Solo I y III e) Ninguna de las anteriores. 42. Si la moda de una muestra es 5, la media aritmetica es 5 y el rango es cero. De las siguientes afirmaciones no se cumple que: a) La mediana es 5. b) No se puede determinar la cantidad de datos de la muestra. c) Todos los datos son iguales. d) La varianza es cero. e) Todas las afirmaciones anteriores son falsas. 43. Dados los siguientes conjuntos de datos: A = {2,4,6,8} B = {3,5,7,9} Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a estos conjuntos? I) La varianza del conjunto A es mayor que la del conjunto B. II) Las medianas de ambos conjuntos son iguales. III) La moda del conjunto B es menor que la moda del conjunto A. II b) Solo I y II c) Solo II y III d) I, II y III e) Ninguna de las anteriores. 44. Si a,b,c son tres números enteros cuya desviación estándar es σ,entonces la desviación estándar de pa, pb y pc, con n un número positivo, es a) p 2 σ b) σ c) pσ d) pσ e) 3pσ

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