5. Medidas de Tendencia Central


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1 5 Medidas de Tendencia Central En los capítulos anteriores, nos referimos a la clasificación, ordenación y presentación de datos estadísticos, limitando el análisis de la información a la interpretación porcentual de las distribuciones de frecuencia El análisis estadístico propiamente dicho, parte de la búsqueda de parámetros sobre los cuales pueda recaer la representación de toda la información Las medidas de tendencia central, llamadas así porque tienden a localizarse en el centro de la información, son de gran importancia en el manejo de las técnicas estadísticas, sin embargo, su interpretación no debe hacerse aisladamente de las medidas de dispersión, ya que la representabilidad de ellas está asociada con el grado de concentración de la información Las principales medidas de tendencia central son: 51 Media aritmética 52 Mediana 53 Moda 51 MEDIA ARITMÉTICA Cotidiana e inconscientemente estamos utilizando la media aritmética Cuando por ejemplo, decimos que un determinado fumador consume una cajetilla de cigarrillos diaria, no aseguramos que diariamente deba consumir exactamente los 20 cigarrillos que contiene un paquete sino que es el resultado de la observación, es decir, dicho sujeto puede consumir 18, un día; 19 otro; 20, 21, 22; pero según nuestro criterio, el número de unidades estará alrededor de 20 Matemáticamente, la media aritmética se define como la suma de los valores observados dividida entre el número de observaciones : Media aritmética de la variable X : Valores de la variable X n: Número de observaciones (1 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

2 : Signo de sumatoria, indica que se debe sumar Ejemplo: Cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana Lunes: 18 Martes: 21 Miércoles: 22 Jueves: 21 Viernes: 20 Sábado: 19 Domingo: 19 Entonces la media aritmética es El fumador consume en promedio 20 cigarrillos diarios Cuando la variable está agrupada en una distribución de frecuencias, la media aritmética se calcula por la fórmula: Ejemplo: (2 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

3 Cantidad de Cigarrillos Consumidos por un Fumador en una Semana Dada: Ejemplo: Calculo de La Media Aritmética El Salario/día de 50 Operarias (3 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

4 = pesos/día Si la información está relacionada en una distribución de frecuencias por intervalos, se toman como valores de la variable las marcas de clase de los intervalos, entiéndase por marca de clase el punto medio entre los límites de cada clase o intervalo Ejemplo: Cálculo de La Media Aritmética de la Resistencia de 100 Baldosas (4 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

5 La resistencia promedio de las 100 baldosas es de 448 Kg/Cm² 511 Propiedades de la Media Aritmética 5111 La suma de las diferencias de los datos con respecto a la media aritmética es igual cero Demostración: pero (5 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

6 Como Ejemplo de Comprobación: En el Ejercicio del Fumador Cuya Media Aritmética es de 20 Cigarrillos / día: Para una distribución de frecuencias: Salario/día de 50 Operarias en La Fábrica de Confecciones "La Hilacha" (Miles De Pesos) (6 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

7 5112 La suma de las diferencias cuadráticas de los datos, con respecto a la Media Aritmética, es mínima Quiere decir esta propiedad que cualquier otro parámetro p, diferente a la media aritmética hace mayor la expresión: Para que Demostración: Debemos, entonces, probar que: (7 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

8 veamos: pero (propiedad a) entonces: como luego (8 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

9 5113 Si a cada uno de los resultados le sumamos o le restamos una constante C, la Media Aritmética queda alterada en esa constante Demostración: Tenemos los datos x 1,x 2, x n Cuya media aritmética es sea La media aritmética de la nueva variable es: entonces En el ejemplo de las baldosas,, a cada uno de los datos restémosle una constante (9 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

10 5114 Si cada uno de los datos se multiplica por una constante k, entonces la media aritmética queda multiplicada por esa constante: Tenemos los datos x 1,x 2, x n cuya media aritmética es sea, Si multiplicamos cada una de las resistencias de las 100 baldosas por una constante tenemos: (10 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

11 512 Media Aritmética con Cambio de Origen y de Escala En estadística es usual la transformación de variables utilizando las dos últimas propiedades: C = un valor de tendencia central (media, mediana, moda o cualquier otro parámetro k = generalmente la desviación standar, desviación media, la amplitud etc Sea para nuestro ejemplo C = 450, k = (11 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

12 A la nueva variable Y le calculamos la media aritmética 513 Media Aritmética Ponderada Hemos visto que la Media Aritmética se calcula con base a la magnitud de los datos, otorgándoles igual importancia a cada uno de ellos Sin embargo en muchas ocasiones la magnitud del dato esta ponderada con un determinado peso que lo afecta relativamente La Media Aritmética ponderada tiene en cuenta la importancia relativa de cada uno de los datos, para lo cual la definimos con la siguiente expresión: donde : Media aritmética ponderada (12 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

13 x i : Valor de la variable X w i : Ponderación del ítem x i Ejemplo: Las calificaciones de un estudiante están conformadas por los siguientes factores: Un examen cuyo valor es 40% en el cual obtuvo una nota de 45, un trabajo de consulta con ponderación del 10% y calificación de 10, una exposición equivalente al 15% con nota de 20, y por último una investigación con valor del 35% calificada con 35 entonces la nota definitiva es: (13 de 13) [15/09/2002 7:42:38]

14 5 Medidas de Tendencia Central 52 LA MEDIANA Otra medida de tendencia central, utilizada principalmente en estadística no paramétrica, es la mediana, la cual no se basa en la magnitud de los datos, como la media aritmética, sino en la posición central que ocupa en el orden de su magnitud, dividiendo la información en dos partes iguales, dejando igual número de datos por encima y por debajo de ella 521 La Mediana Cuando los datos no están Agrupados en Intervalos Partiendo de la información bruta, ordenamos los datos ascendente o descendentemente: se define Mediana =, si n es impar ó Mediana =, si n es par En el ejercicio de los cigarrillos, consumidos por un fumador tenemos lunes 18, martes 21, miércoles 22, jueves 21, viernes 20, sábado 19, y domingo 19 Ordenando ascendentemente : n, es impar, entonces Veamos cuando n es par: (1 de 4) [15/09/2002 7:42:50]

15 Consumo mensual de agua, en m 3, por la fábrica de confecciones la hilacha Enero= 10, Mayo= 14, Septiembre= 18, Febrero= 12, Junio= 19, Octubre= 22, Marzo= 15, Julio= 17, Noviembre= 15, Abril= 18, Agosto= 18, Diciembre= 13 Mediana= Como se puede observar, en este caso la mediana no es un dato perteneciente a la información, es un parámetro que divide la información dejando el 50% por encima y el 50% por debajo de ella 522 La Mediana Cuando la Información se Encuentra Agrupada en Intervalos Si la información esta agrupada en intervalos iguales, entonces la mediana se calcula según la siguiente expresión: Me: LI: Mediana Límite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana (intervalo mediano), el cual se determina observando en que clase se encuentra la posición n/2) (2 de 4) [15/09/2002 7:42:50]

16 n: Número de observaciones : Frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano : Frecuencia del intervalo mediano A: Amplitud del intervalo Ejemplo: Resistencia de 100 Baldosas de la Fabrica De Las Casas en la columna de frecuencia acumulada advertimos que la observación número 50 se halla en el cuarto intervalo 4 Se concluye que el 50% de las baldosas resiste menos de Kg/Cm 2 y el 50% resiste mas de Kg/Cm 2 (3 de 4) [15/09/2002 7:42:50]

17 (4 de 4) [15/09/2002 7:42:50]

18 5 Medidas de Tendencia Central 53 LA MODA La moda, como su nombre lo indica, es el valor más común (de mayor frecuencia dentro de una distribución Una información puede tener una moda y se llama unimodal, dos modas y se llama bimodal, o varias modas y llamarse multimodal Sin embargo puede ocurrir que la información no posea moda 531 La Moda Cuando los datos no están Agrupados en Intervalos Salario de 50 Operarias de la Fabrica de Confecciones "La Hilacha" El valor que más veces se repite es 54 con una frecuencia de 12, entonces decimos que la moda es Mo = pesos diarios (1 de 4) [15/09/2002 7:42:59]

19 Cantidad de Cigarrillos Consumidos por un Fumador en una Semana Dada: Los valores de mayor frecuencia corresponden a 19 y 21, por lo tanto se trata de una distribución bimodal con Mo 1 =19 y Mo 2 = Cálculo de la Moda Cuando la Información está Agrupada en Intervalos Cuando la información se encuentra agrupada en intervalos de igual tamaño la moda se calcula con la siguiente expresión Mo: Moda, donde: LI: Límite inferior del intervalo modal f m : Frecuencia de la clase modal f (m-1) : Frecuencia de la clase premodal f (m+1) : A : Frecuencia de la clase posmodal Amplitud de los intervalos Ejemplo: Resistencia de 100 Baldosas (2 de 4) [15/09/2002 7:42:59]

20 A pesar que el valor no es un dato real de la información asumimos ese parámetro como el de mayor ocurrencia CUESTIONARIO Y EJERCICIOS PROPUESTOS 1 Que es una medida de tendencia central? 2 Cuales son las principales medidas de tendencia central? 3 Defina : media aritmética mediana y moda 4 Cuándo se utiliza la media aritmética ponderada? 5 Enuncie las propiedades de la media aritmética 6 Para cada información de los ejercicios del capitulo 3, calcular e interpretar la media aritmética, la mediana y la moda 7 La tripulación de un avión, en su itinerario compra los siguientes galones de gasolina: Ciudad X 200 galones a 4000 pesos el galón (3 de 4) [15/09/2002 7:42:59]

21 Ciudad Y 250 galones a 3500 pesos el galón Ciudad Z 300 galones a 3000 pesos el galón Cuál es el costo promedio de la gasolina comprada? (4 de 4) [15/09/2002 7:42:59]

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