+ f 2. + f 3. p i. =h i 100. F i. = f i. H i. = h i. P i. = p i


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1 OCIOES de ESTADÍSTICA En las tablas estadísticas se pueden tabular, entre otros, los siguientes aspectos: La frecuencia absoluta ( f i ), es decir, el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos (): f 1 + f 2 + f 3 + = f i = La frecuencia relativa ( h i ), es decir, el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos, : h i = f i La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. La frecuencia relativa porcentual ( p i ): es la frecuencia relativa expresada en tantos por ciento. Se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 100: p i =h i 100 La frecuencia absoluta acumulada ( F i ), es decir, la suma de todas las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado i : F i = f i La frecuencia relativa acumulada ( H i ), es decir, la suma de todas las frecuencias relativas de todos los valores menores o iguales al valor considerado i : H i = h i La frecuencia relativa porcentual acumulada ( P i ): es la suma de todas las frecuencias relativas porcentuales menores o iguales que el dato considerado. P i = p i Ejemplo: La talla de calzado de 20 niños es: 43; 42; 41; 39; 41; 37; 40; 43; 44; 40; 39; 39; 38; 41; 40; 39; 38; 39; 39; 40. Construye la tabla de frecuencias y porcentajes. Valores x i f i h i = f i Porcentajes p i =h i 100 F i =Σ f i H i =Σ h i P i =Σ p i ,05 5% 1 0,05 5% ,10 10% 3 0,15 15% ,30 30% 9 0,45 45% ,20 20% 13 0,65 65% ,15 15% 16 0,80 80% ,05 5% 17 0,85 85% ,10 10% 19 0,95 95% ,05 5% % 1 Suma =Σ f i =20 f i =1 Σ p i =100

2 Matemáticas de ivel II de E.S.P.A. OCIOES de ESTADÍSTICA Si la variable es continua o, siendo discreta toma muchos valores diferentes, los datos se agrupan en intervalos o clases. Estos intervalos tienen todos, la misma amplitud, siendo la marca de clase (x i), de cada intervalo, el punto medio de cada uno. Para formar los intervalos se procede de la siguiente manera: úmero de intervalos: se obtiene del valor resultante de redondear a un entero la raíz cuadrada del número total de datos: nº intervalos = Amplitud de cada intervalo: Para determinar la amplitud de cada intervalo, se calcula el recorrido, es decir, la diferencia entre el dato de mayor valor y el de menor valor. A continuación se busca un valor igual o superior al recorrido que sea múltiplo del número de intervalos. La amplitud de cada intervalo se obtiene de dividir este valor entre el número de intervalos. Ejemplo: El peso en kg de 20 niños es: 66,5; 59,2; 60,1; 64,2; 70; 50; 41,6; 47,9; 42,8; 55; 52,2; 50,3; 42,2; 61,9; 52,4; 49,2; 41,6; 38,7; 36,5; 45. Crea una tabla agrupando los datos en 6 intervalos de amplitud 7. El número de intervalos es 20=4,47 4 El recorrido es 70-36,5=33,5. Buscamos el primer múltiplo de 4 mayor que 33,5; es el 36. Longitud= recorrido nº de intervalos = 36 4 =9 El extremo inferior del primer intervalo se calcula dividiendo entre dos la resta obtenida entre el recorrido estimado y el recorrido calculado: (36 33,5 ):2=1,25 36,5 1,25=35,25 Intervalo Marca de clase (x i) Recuento (f i) h i p i H i F i P i [35-44) 39,5 6 6/ / [44-53) 48,5 7 7/ / [53-62) 57,5 4 4/ / [62-71] 66,5 3 3/ /20= Suma =20 2

3 Matemáticas de ivel II de E.S.P.A. OCIOES de ESTADÍSTICA Ejemplo: Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas para la siguiente tabla que muestra los resultados de un test realizado a los empleados de una fábrica: Altura (x i) f i F i [38-44) 7 7 [44-50) 8 15 [50-56) [56-62) [62-68) [68-74) 9 82 [74-80] 6 88 Actividades 4. Los pesos en kilogramos de los 40 jóvenes son los siguientes: (a) Haz una tabla de frecuencias agrupando los datos. (b) Representa la tabla anterior mediante un histograma y dibuja sobre éste un polígono de frecuencias. 3

4 OCIOES de ESTADÍSTICA Solución (a) (b) Intervalo Marca de clase Recuento (frecuencia) [38,5-44,5) 41,5 2 [44,5-50,5) 47,5 6 [50,5-56,5) 53,5 11 [56,5-62,5) 59,5 12 [62,5-68,5) 65,5 6 [68,5-74,5] 71,5 3 Diagrama de sectores Otro tipo de gráfico usado muy frecuentemente en los medios de comunicación es el diagrama de sectores o de tarta. Es muy útil para ilustrar la división de una población en sus diversas partes, y la proporción de la totalidad que representa cada parte. Consiste en dividir un círculo en tantos sectores como valores tenga la variable, asignando a cada sector una amplitud proporcional a la frecuencia de cada valor. Se utiliza para representar frecuencias de cualquier tipo de variable siempre que no tome demasiados valores diferentes, en cuyo caso se perdería el impacto visual que este tipo de gráfico pretende conseguir. Veamos un ejemplo: Ejemplo: En un centro deportes municipal hay inscritas 120 personas en los siguientes deportes: 4 Deportes º de inscritos Baloncesto 20 Balonmano 14 Fútbol 48 Atletismo 16 atación 22 Total 120 El diagrama de sectores correspondiente a esta variable es:

5 Matemáticas de ivel II de E.S.P.A. OCIOES de ESTADÍSTICA Observa que cada frecuencia que aparece en la tabla se representa por un sector de la tarta, de tamaño proporcional al valor de la frecuencia. Para dibujar este gráfico se ha hecho lo siguiente: Se ha dividido 360º entre 120, que es la suma de todas las frecuencias: =3 º Se multiplica cada frecuencia por este resultado. Por ejemplo, para el baloncesto: Se dibuja con el transportador el sector circular correspondiente a la medida obtenida =60 Actividades 5. En un edificio de 16 vecinos, el número de televisores por vivienda es: 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 0, 3, 2. Haz una tabla de frecuencias y dibuja el dibuja el diagrama de sectores. Solución º de televisores frecuencias porcentajes p i =h i 100 grados sexagesimales , , ,25 112, ,75 67,5 Totales =

6 OCIOES de ESTADÍSTICA 4. Parámetros estadísticos Sirven para sintetizar la información proporcionada por una tabla o gráfico estadístico logrando una visión global de lo que acontece. Los hay de tres tipos: de centralización, de dispersión y de posición. 4.1 Medidas de centralización Indican los valores más representativos de un conjunto de datos; en particular, en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos. Las más utilizadas son la media aritmética, la mediana y la moda. Media aritmética La media aritmética, x, es el cociente entre la suma de todos los valores e la variable y el número total de datos: x= x i f i En el caso de variables continuas o cuando los datos están agrupados en intervalos, se toma como valor de la variable la marca de clase. Moda La moda, Mo, es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. En el caso de una variable continua, hablaremos de intervalo modal o tomaremos la marca de clase. Si hay más de un valor con la máxima frecuencia, entonces no hay moda propiamente dicha aunque, en ocasiones se habla de distribución bimodal o trimodal. Mediana La mediana, M e, una vez ordenados los datos, es el valor del dato que ocupa la posición central, o la media de los dos datos centrales, en el caso de que el número de datos sea par. La mediana divide los datos en dos partes, de forma que el 50% de los datos son menores que la mediana y el otro 50% son mayores. (En este sentido, además de ser una medida de centralización, lo es también de posición). Si la variable es continua, hablaremos de intervalo mediano o consideraremos la marca de clase. Ejemplo: Una encuesta realizada a 10 parejas en la que se les preguntaba sobre el número de hijos que tienen presenta los siguientes datos: 0, 1, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 2, 1. Forma una tabla estadística con estos datos y calcula la media, la moda y la mediana. Para calcular los parámetros estadísticos, es conveniente formar una tabla como la siguiente: 6 º de hijos x i frecuencias absolutas f i x i f i Totales =Σ f i =10 13 Esta tabla facilita el cálculo de los parámetros estadísticos:

7 Matemáticas de ivel II de E.S.P.A. OCIOES de ESTADÍSTICA Media: x i f i x= = =1,3 Moda: El dato de mayor frecuencia es 1: Mo=1 hijo Mediana: Observando la tabla de los porcentajes acumulados, vemos que el 50% corresponde al dato 1: Me=1 hijo Ejemplo: Obtener la media, moda y mediana de los datos estadísticos recogidos en la siguiente tabla: Intervalos f i Intervalos Marca de clase x i f i x i f i F i P i ,5 3 37, ,5 5 87, , , , , , Σ x i f i =597,5 Media: x i f i x= = 597,5 25 =23,9 Moda: El dato de mayor frecuencia es 22,5: Mo=22,5 4.2 Medidas de dispersión Mediana: Observando la tabla de los porcentajes acumulados, vemos que el 50% corresponde al dato cuya marca de clase es 22,5: Me=22,5 Son medidas que permiten conocer como están de disgregados o alejados del centro los datos de un estudio estadístico. Generalmente, ese centro es la media aritmética de la distribución. Rango o recorrido (R) El rango o recorrido es la diferencia existente entre el valor mayor y el menor de la distribución. Realmente no es una medida muy significativa en la mayoría de los casos: R=Máximo valor mínimo valor Varianza σ 2 La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto de la media. Se calcula por la expresión: 7 2 σ 2 f = i x i x 2

8 OCIOES de ESTADÍSTICA Desviación típica La desviación típica se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza: = 2 f σ = σ 2 i x i x 2 Tiene la ventaja, respecto de la varianza, de que se mide en la misma unidad que la variable. Coeficiente de variación (CV) El coeficiente de variación CV es el cociente de la desviación típica entre la media: CV = σ x o tiene unidades y se utiliza para comparar la dispersión entre distintas variables estadísticas. Cuanto más pequeño sea el coeficiente de variación más agrupados están los datos en torno a su media. Veamos un ejemplo sobre el cálculo de todos estos parámetros. Ejemplo:El número de preguntas acertadas por 100 opositores en un test de 30 cuestiones se presenta agrupado en la tabla siguiente: úmero de aciertos Marca de clase x i Frecuencia absoluta f i [0,5) 2,5 3 [5,10) 7,5 10 [10,15) 12,5 25 [15,20) 17,5 38 [20,25) 22,5 16 [25,30) 27,5 8 Total 100 Calcula la media, moda, mediana, varianza, desviación típica y coeficiente de variación. El cálculo de estos parámetros se facilita si añadimos las siguientes columnas a la tabla: 8 úmero de aciertos Marca de clase x i Frecuencia absoluta f i Frecuencias acumuladas F i x i f i x i f i [0,5) 2, ,5 18,75 [5,10) 7, ,5 [10,15) 12, ,5 3906,25 [15,20) 17, ,5 [20,25) 22, [25,30) 27, Total = f i =100 x i f i =1640 x i2 f i =30275

9 Matemáticas de ivel II de E.S.P.A. OCIOES de ESTADÍSTICA Media x= x i f i = 1640 =16, Moda o intervalo modal Es el intervalo o marca de clase de mayor frecuencia: M o =[20,25 ) o bien M o =22,5 Mediana o intervalo mediano Para calcular la mediana es conveniente obtener la tabla de porcentajes acumulados con el fin de ver a qué intervalo pertenece el 50% de los datos. o obstante, podemos servirnos de la columna de frecuencias acumuladas. En ésta la frecuencia 50 corresponde al intervalo [15,20) cuya marca de clase es 17,5. Por tanto, podemos decir que el intervalo mediano es M e =[15,20 ) o bien M e =17,5. Varianza Desviación típica 2 σ 2 f = i x i x 2 = (16,40 )2 =33,79 σ = σ 2 = 33,79=5,81 Coeficiente de variación CV = σ x = 5,81 16,40 =0,35=35 Se observa que el coeficiente de variación es moderadamente grande. Esto indica que los datos presentan una agrupación relativamente pequeña respecto de las medidas centrales, es decir, que no están demasiado desagrupados. Esto se puede visualizar en el histograma que se muestra al margen. Veamos con un ejemplo la utilización del coeficiente de variación: Compara la dispersión en dos variables: la primera mide el peso de los elefantes x e =2000kg y σ e =100kg, y la otra mide el peso de los ratones, con x r =0,05 kg y σ r =0,02kg. Al comparar las desviaciones típicas, es mayor la de los elefantes. Sus coeficientes de variación son 0,05 para los elefantes y 0,4 en los ratones. Por tanto, la dispersión es mayor en los ratones. (Cuanto menor es el coeficiente de variación menor es la dispersión de los datos). A veces, el coeficiente de variación se expresa en %. Según eso, el C.V. de los elefantes sería del 5% mientras el de los ratones del 40%. 4.3 Medidas de posición Una medida de posición es un valor de la variable que nos informa del lugar que ocupa un dato dentro del conjunto ordenado de valores. Las más utilizadas son los cuartiles, la mediana y los percentiles o centiles. 9

10 OCIOES de ESTADÍSTICA Actividades 2. Los goles marcados por un equipo de fútbol en los 10 últimos partidos han sido: 1, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 2, 4, 2. Haz una tabla de frecuencias relativas, absolutas y porcentajes para estos valores. Solución: Valores x i f. absoluta f i f. relativa h i = f i Porcentajes p i =h i ,2 20% 1 3 0,3 30% 2 3 0,3 30% 3 1 0,1 10% 4 1 0,1 15% Totales =10 f i =1 100% 3. Elaborar una tabla de frecuencias absoluta, frecuencias relativas, frecuencias absolutas y relativas acumuladas, porcentajes y porcentajes acumulados con las estaturas de 40 adolescentes (Reparte los datos en intervalos de igual longitud): Solución: º de intervalos: 40=6,32 6 Recorrido: =29 Tomamos el primer múltiplo de 6 superior a 29: 30 Amplitud del intervalo: 30 6 =5 El extremo inferior del primer intervalo se calcula dividiendo entre dos la resta obtenida entre el recorrido estimado y el recorrido calculado: (30 29 ):2=1:2=0, ,5=148,5 10

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