Curs MAT CFGS-15


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1 Curs MAT CFGS-15 ESTADÍSTICA Tablas de frecuencia. Distribución de frecuencias La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. Tipos de frecuencias Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por f i. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N. Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatorio. Frecuencia relativa La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por n i. Ejemplo: La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 3, 31, 8, 9, 33, 3, 31, 30, 31, 31, 7, 8, 9, 30, 3, 31, 31, 30, 30, 9, 9, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 9, 9. En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta. x i Recuento f i F i n i N i 7 I II III III I Diagrama de barras y polígonos de frecuencias Diagrama de barras Un diagrama de barras se utiliza para representar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

2 Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas. Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia. Ejemplo: Un estudio hecho al conjunto de los 0 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado: Grupo sanguíneo f i A 6 B 4 AB Polígonos de frecuencia Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos. También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos. Ejemplo: Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones: Hora Temperatura 6 7º Diagrama de sectores Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para lasvariables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente. El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos. Ejemplo: En una clase de 30 alumnos, 1 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte. Alumnos Ángulo Baloncesto Natación 3 36

3 Fútbol Sin deporte 6 7 Total Histograma Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras. En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, lafrecuencia absoluta de cada intervalo. La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. Polígono de frecuencia Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo. Ejemplo: El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla: c i f i F i [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 10) Parámetros estadísticos Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística. Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica. Tipos de parámetros estadísticos Hay tres tipos parámetros estadísticos: De centralización, de posición y de dispersión. Medidas de centralización Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos. La medidas de centralización son: Media aritmética: La media es el valor promedio de la distribución. Mediana: La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales. Moda: La moda es el valor que más se repite en una distribución. Medidas de dispersión Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución. Las medidas de dispersión son: Rango o recorrido El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística. Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. Varianza La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media. Desviación típica La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

4 Desviación med ia Desviación respecto a la media La desviación respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética. D i = x - x Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. La desviación media se representa por Ejemplo: Calcular la desviación media de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Desviación media para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es: Ejemplo: Calcular la desviación media de la distribución: x i f i x i f i x -x x - x f i [10, 15) [15, 0) [0, 5) [5, 30) [30, 35) Varianza La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza se representa por. Varianza para datos agrupados Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

5 Ejercicios de varianza Ejercicio 1: Calcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Ejercicio : Calcular la varianza de la distribución de la tabla: x i f i x i f i x i f i [10, 0) [0, 30) [30,40) [40, 50) [50, [60,70) [70, 80) Propiedades de la varianza 1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía. 3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por elcuadrado de dicho número. 4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño: Si las muestras tienen distinto tamaño: Observaciones sobre la varianza 1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas. En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza. 3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado. Desviación típica La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación. La desviación típica se representa por σ.

6 Desviación típica para datos agrupados Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores. Ejercicios de desviación típica Ejercicio 1: Calcular la desviación típica de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Ejercicio : Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla: x i f i x i f i x i f i [10, 0) [0, 30) [30,40) [40, 50) [50, 60) [60,70) [70, 80) Propiedades de la desviación típica 1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía. 3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número. 4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño: Si las muestras tienen distinto tamaño:

7 Observaciones sobre la desviación típica 1 La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas. En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica. 3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media. Coeficiente de variación El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes: El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas. Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí. La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor. Ejercicio: Una distribución tiene x = 140 y σ = 8.8 y otra x = 150 y σ = 4. Cuál de las dos presenta mayor dispersión? La primera distribución presenta mayor dispersión. Resumen de Estadística descriptiva La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones. Conceptos de Estadística Población: Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico. Individuo: Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población. Muestra: Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población. Muestreo: El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población. Valor: Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz. Dato: Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz. Variables estadísticas Variable cualitativa: Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos: Variable cualitativa nominal: Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Variable cualitativa ordinal o variable cuasi cuantitativa: Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no numéricas, en las que existe un orden. Variable cuantitativa: Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos: Variable discreta: Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Variable continua: Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Distribución de frecuencias: La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. Diagrama de barras: Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

8 Polígonos de frecuencias: Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos. También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos. Diagrama de sectores: Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para lasvariables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente. Histograma: Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras. Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases. En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, lafrecuencia absoluta de cada intervalo. Medidas de centralización Moda: La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por M o. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas. Cálculo de la moda para datos agrupados 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud. º Los intervalos tienen amplitudes distintas. En primer lugar tenemos que hallar las alturas. La clase modal es la que tiene mayor altura. Mediana: Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por M e.la mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas. Cálculo de la mediana 1 Ordenamos los datos de menor a mayor. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. Cálculo de la mediana para datos agrupados: La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. Media aritmética: La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total dedatos. es el símbolo de la media aritmética. Media aritmética para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

9 Medidas de dispersión Desviación media: La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. La desviación media se representa por Desviación media para datos agrupados: Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es: Varianza: La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza se representa por. Varianza para datos agrupados Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores. Desviación típica: La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. La desviación típica se representa por σ. Desviación típica para datos agrupados Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

10 Desviación típica para datos agrupados Coeficiente de variación: El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. Ejercicio de estadística Las temperaturas máximas en una ciudad durante el mes de junio fueron: 8 ºC, 9 ºC, 8 ºC, 30 ºC, 30 ºC, 9 ºC, 30 ºC, 31 ºC, 9 ºC, 9 ºC, 30 ºC, 31 ºC, 31 ºC, 31 ºC, 3 ºC, 33 ºC, 34 ºC, 34 ºC, 35 ºC, 31 ºC, 31 ºC, 3 ºC, 3 ºC, 33 ºC, 33 ºC, 31 ºC, 3 ºC, 3 ºC, 33 ºC, 33 ºC, 34 ºC. Calcula la moda: Calcula la mediana: Calcula la media: Calcula el rango: Calcula la desviación media: Calcula la varianza: Calcula la desviación típica: Ejercicios resueltos de la desviación típica 1. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:, 3, 6, 8, 11. 1, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5., 3, 6, 8, 11. Media Desviación típica 1, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5. Media Desviación típica. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez: Meses Niños 1 16

11 Calcular la desviación típica. x i f i N i x i f i x² i f i El resultado de lanzar dos dados 10 veces viene dado por la tabla: Sumas Veces Calcular la desviación típica. x i f i x i f i x i f i

12 EJEMPLOS CON DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE VALORES EXÁMENES 1. Valencia-011-RESUELTO Las frecuencias del número de asignaturas suspendidas en una clase de 0 alumnos es: X i (número de asignaturas suspendidas) F i (frecuencias) Calcula: la media, la mediana y la moda de la distribución. Xi fi xi*fi

13 n f i xi i Media : X i 1.7 N 0 0 X 10 X 11 1 Moda 0 se repite 7 veces y Mediana : 1. 5 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. Andalucía-013-RESUELTO Media x f x i N i ,1 horas de entrenamiento 10 Desviación típica: f i x x 1 3 5, ,1 5 5,1 6 5,1 7 5,1 i N 4,41 3,63 0,0 1,6 7, 10 18, ,87 1,37 3. Valencia-013 En un estudio sobre determinadas características sociológicas de un barrio, elegimos aleatoriamente 5 viviendas del mismo y computamos el número de habitaciones de cada una de ellas. El resultado viene representado en el siguiente diagrama de barras:

14 Calcular: La media, la mediana y la moda del número de habitaciones de la muestra. 4. Valencia-01 La distribución de las multas por infracciones de tráfico en una ciudad A a lo largo de un determinado período de tiempo viene dada por la relación: 400 multas de multas de multas de 00. Calcular: El valor medio de las multas por dichas infracciones. La varianza y la desviación típica de dicha distribución de sanciones 5. Valencia-010 Se ha realizado un estudio estadístico en un gran centro comercial sobre el dinero que un/a cliente/a gasta al realiza sus compras en un día cualquiera de la semana. Este estudio nos aporta la siguiente información: Dinero ( ) [0-100[ [100-00[ [00-300[ [ [ [ [ Nº personas a) Halla el gasto medio realizado por los clientes ese día. b) Si a todas las personas que gastan más de 300 euros se les obsequia con un regalo cuál es el porcentaje de clientes que reciben dicho regalo? 6. Castilla-La mancha 01 Lanzamos dos dados, sumamos las puntuaciones y anotamos los resultados. Repetimos la experiencia 30 veces: 11, 8, 9, 9, 3, 4, 11, 7, 7, 8, 7, 5, 6, 4, 4, 7, 10,, 6, 10, 7, 7, 6,, 8, 7, 5, 8, 6, 9 a) Confecciona una tabla de frecuencias. b) Calcula los siguientes parámetros estadísticos: 1. Media aritmética.. Moda. 3. Mediana. 4. Varianza. 5. Desviación típica. 7. El porcentaje de población activa dedicada a la agricultura en 30 países africanos es: a) Agrupa estos datos en cinco intervalos de igual amplitud. b) Calcula la media, moda y mediana. c) Calcula la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. 8. Extremadura-009 Las calificaciones que obtuvieron los alumnos de una clase en matemáticas, en la primera evaluación, se encuentran recogidas en el siguiente diagrama de barras:

15 a) Elaborar la tabla de frecuencias correspondiente. b) Calcular la media. c) Indicar cuál es la moda. d) Calcular la desviación típica. e) Determinar el porcentaje de aprobados en matemáticas (notas mayores o iguales a 5). 9. Extremadura-010 Las estaturas de cinco personas en cm han sido: a) Elaborar una tabla de frecuencias. b) Calcular la estatura media. c) Calcular la desviación típica. d) Cuál es la moda? e) Qué porcentaje de personas están por debajo de la estatura media? 10. Extremadura-008 El gasto mensual en Telefonía Móvil de 10 alumnos de 4º de ESO es el siguiente: 8, 8, 10, 10,10, 14, 18, 18,, (En euros) a) Elabora una tabla de frecuencias absolutas y relativas. b) Halla la media y la desviación típica de la distribución. c) Dibuja un gráfico estadístico adecuado. 11. Cataluña-014 Fem una enquesta sobre el nombre de llibres llegits per cada persona entrevistada durant l últim any, i obtenim els resultats següents: 0,, 1, 1, 1,, 3, 0, 0, 1,, 1, 4, 5, 0, 3,, 4, 3,, 0, 0,,,, 1, 3, 0, 1, 4,, 3, 1, 1, 1,,, 3, 1, 3 a ) Feu una taula amb la freqüència absoluta, la freqüència relativa i el tant per cent. b ) Calculeu-ne la mitjana aritmètica i la desviació típica. x = 1,775 σ = 1,74 c ) Quin tant per cent de persones llegeixen tres o més llibres anualment? 17,5 % + 7,5 % +,5 % = 7,5 % 1. Castilla-La mancha-014 Durante el mes de Julio, en una determinada ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 3, 31, 8, 9, 9, 33, 3, 31, 30, 31, 31, 7, 9, 9, 30, 3, 31, 31, 30, 30, 9, 9, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 9. a) Elabora una tabla de frecuencias y representa la distribución mediante un diagrama de barras. b) Halla la moda, media y mediana. c) Halla la varianza y la desviación típica 13. Madrid-014 En un hospital se quiere estimar el peso de las niñas recién nacidas. Para ello se seleccionan, de forma aleatoria, cien de estas, obteniéndose los siguientes resultados Intervalos (Kg) [1;1,5) [1,5;) [;,5) [,5;3) [3;3,5) [3,5;4) [4;4,5) [4,5;5) Nº de niños

16 Calcule a) La media, la moda, la mediana y la desviación típica. b) El porcentaje de niñas con un peso superior a 3 Kg. 14. Castilla-La Mancha-013 Los siguientes valores representan los pesos de una serie de personas: a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 10, halla las marcas de clase y realiza una tabla estadística con los datos. b) Calcula la media, mediana, moda, varianza y desviación típica c) Realiza el diagrama de barras de los datos y el polígono de frecuencias 15. Castilla-La Mancha-013 Estudiamos el número de televisores que hay en cada vivienda y obtenemos los siguientes datos: 1, 1, 1, 1, 1,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 3, 3,,, 1, 1, 1,,, 3, 3, 3, 4, 4, 3, 3,,,, 1, 4, 1, 1, 1,, 3, 1, 1, a. Construye la tabla de frecuencias b. Calcula la media, moda y mediana c. Calcula la varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

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