Problemas de cálculo


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1 Ejercicio resuelto completo Problemas Conocer una variable Vicente Manzano-Arrondo, Problemas de cálculo En 50 ocasiones hemos preguntado a Asensio por su número favorito. En contra de lo que cabe esperar, Asensio ha respondido en cada ocasión con un número diferente. Sus respuestas son las que siguen: Con estos datos, construye una tabla de frecuencia al uso y calcula los estadísticos moda, mediana y media aritmética con sus correspondientes índices de bondad de representación o de dispersión. Solución La tabla de frecuencia es la que sigue, con las columnas de valores, frecuencias, frecuencias acumuladas, porcentajes y porcentajes acumulados, respectivamente. He añadido un par de columnas más para los cálculos intermedios (cada valor por su frecuencia, para el cálculo de la media aritmética; y cada distancia cuadrática del valor a la media por su frecuencia, para el cálculo de la desviación tipo). Y otra pequeña tabla más a la derecha, para el cálculo de la mediana de las distancias a la mediana. Con todo ello: Xi fi Fi %i %ai Xifi d2fi Xi-Mdn fi Fi , , , ,0 Σ ,0 Σ ,0 Para el cálculo de los estadísticos: Moda y bondad de la moda (% de la moda) Según puede observarse en la tabla, el valor con mayor frecuencia es X i =15. Luego, Moda = 15 y % Moda = 26. Mediana y bondad de la mediana (MAD) Como n=50, la mediana ocupa la posición 51/2=25,5. Desde la posición 20 hasta la 32, ambas inclusive, todos los datos ordenados tienen el valor 15. Luego, Mdn = 15. 1

2 Para calcular MAD (mediana de distancias a la mediana), hay que calcular las distancias a la mediana primeramente. Esta información se encuentra en la pequema tabla de la derecha. Los 13 datos con valor 15 coinciden con Mdn, por lo que su distancia es 0. Los 11 datos con valor 13 y los 9 datos con valor 17 se distancian de la mediana en 2 unidades, luego la frecuencia para la distancia 2 es de 11+9 = 20. Por último, los 8 datos con valor 11 y los 9 datos con valor 19 se distancian de la mediana en 4 unidades, luego la frecuencia de la distancia 4 es 17. Observando las frecuencias acumuladas, la posición 25,5 se encuentra en el intervalo de las posiciones 14 a 33, ocupadas por el valor de distancia 2. Luego, la mediana de las distancias a la mediana es MAD = 2. Media aritmética y bondad de la media (desviación tipo) Para interpretar más fácilmente la dispersión, acudimos también al coeficiente de variación de Pearson, según el cual, la desviación tipo es un 18% de la media, una dispersión muy aceptable y, por tanto, un apoyo a la media aritmética como medida de representación numérica del conjunto. X = X i f i n = = 15 S = ( X i X ) 2 = 352 n 50 = 2,65 CV = S X 100 = 18 % S a = 100 S ( X min) (max X ) = 100 2,65 (15 11) (19 15) = 66 % Ejercicios propuestos 1. Hemos preguntado a 40 estudiantes por cuántos euros (en términos redondos) suelen gastar cada día en alimentación en la universidad. Las respuestas son: Construye la tabla de frecuencias y calcula los mismos estadísticos que en problema anterior. 2. Un grupo de niños y niñas de 8 años se han enfrentado a una prueba en la clase de educación física. Tenían que dar cuatro patadas a un balón sin que tocara el suelo. Hay quien lo ha conseguido y hay quien no. Lo que sigue es el número de patadas seguidas que han conseguido dar. Resuelve del mismo modo que en los ejercicios anteriores

3 Soluciones sintéticas Ejercicio propuesto 1 Xi fi Fi %i %ai Xifi d2fi ,5 12,5 5 80, ,0 27, , ,5 50,0 36 9, ,5 77, , ,5 100, ,0 Σ ,0 Xi-Mdn fi Fi Σ 40 n 40 Mdn 5 Media 5,00 MAD 2 D.t. 2,73 Moda 6 Sa 68 %Moda 27,5 CV 55 Ejercicio propuesto 2 Xi fi Fi %i %ai Xifi d2fi , , , ,0 Σ ,0 Xi-Mdn fi Fi Σ 36 n 36 Mdn 2 Media 2,00 MAD 1 D.t. 1,00 Moda 1 Sa 71 %Moda 28 CV Observa la siguiente tabla de frecuencias: Ejercicios más conceptuales Xi fi En relación a la tabla, responde a las siguientes preguntas sin realizar cálculos: a) Cuál es el valor con el mayor porcentaje? b) Y el que posee el menor? c) Cuál es el valor con el porcentaje acumulado más alto? d) Y el que posee el más bajo? 3

4 2. Observa la siguiente representación gráfica. Sabiendo que se trata de una variable nominal y que el eje vertical se refiere a las frecuencias de cada valor, reproduce la tabla de frecuencias que le corresponde. Indica cuántos datos y cuántos valores hay Hemos preguntado a un conjunto de estudiantes de psicología en qué provincia han nacido. Han respondido 120 en Sevilla, 68 en Córdoba, 72 en Cádiz, 60 en Huelva, 36 en Badajoz y 44 en otros lugares. Construye la tabla de frecuencias más idónea y escoge la mejor representación numérica. 4. La siguiente tabla muestra información sobre la variable visitas al supermercado durante el pasado mes. Completa la tabla con la columna de frecuencias. Xi Fi Identifica los errores en las siguientes tablas: Xi fi Xi Fi Xi %ai Xi %i Xi %i Hemos proyectado 10 películas en un ciclo de cine, ante un grupo de 40 personas. Les hemos preguntado por cuáles les han gustado más y las películas escogidas han sido las numeradas como 7, 3, 5, 2 y 9. Construye la tabla de frecuencias sabiendo que: El conjunto de datos tiene dos modas. El 10% ha escogido la película 3. La película 5 se ha llevado la quinta parte de las elecciones. 4 personas escogieron la película Tenemos el siguiente conjunto de datos: 2, 1, 9, 1, 12, 5, 1, 2, 3. Añade un dato más, de tal forma que consigas que: A. la distribución pase a ser bimodal. B. o bien, que la media aritmética no varíe. C. o bien que la mediana no varíe. 4

5 8. A los siguientes datos, {1, 2, 3, 4, 10, 10} Qué valor hemos de añadir para conseguir que el valor de la media aritmética sea el doble que la mediana? Ejercicios de exámenes 5

6 6

7 7

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