Tema 3: Medidas de posición


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1 Estadística I Universidad de Salamanca Curso 2010/2011

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4 aritmética na Definición: X X = N i=1 x i N = k i=1 x in i N = k x i f i i=1 Propiedades Es única No tiene porque ser un valor observado de la variable En su calculo intervienen todos los datos Sea X con media X entonces Y = ax + b = Y = ax + b

5 aritmética na Propiedades Sea Y y X 1, X 2,..., X n variables donde Y = a 1 X a n X n + b = Y = a 1 X a n X n + b La suma de las desviaciones con respecto a la media es cero. Sea d i = x i X la desviación de x i con respecto de la media X N d i = 0 i=1

6 aritmética na Propiedades Si la población objeto de estudio se divide en H partes: N 1, N 2,..., N H = N. La media de una variable en toda la población es X = X 1 N X H N H N siendo X 1,..., X H las medias de esa variable en cada subpoblación

7 ponderada na Definición: X p X p = k i=1 x iw i k i=1 w i Propiedades Generalización de la media aritmética

8 geométrica na Definición: G G = x N n 1 1 x n x n k k Propiedades Es única Utiliza todos los elementos Sólo se puede aplicar a variables que tomen valores positivos

9 armónica na Definición: H H = k i=1 n i k i=1 = n i x i N k i=1 n i x i Propiedades Utiliza todos los elementos Sólo se puede aplicar a variables que tomen valores positivos

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11 na Definición: Mo Es aquel valor de la variable que más veces se repite o que la frecuencia sea máxima Propiedades No es única Siempre es un valor observado de la variable En su calculo no intervienen todos los datos Sea X con media X entonces Y = ax + b = Mo Y = a Mo X + b

12 na Cálculo para datos sin agrupar x i n i x 1 n 1. x k Total. n k N Mo X La moda de la varibale X es el x i con mayor n i

13 Cálculo para datos agrupados na Pasos para intervalos I i n i c i h i L 0 L 1 n 1 c 1 h L k 1 L k n k c k h k Seleccionamos el intervalo con máxima h i, el intervalo modal: I i = L i 1 L i ( ) h Mo x = L i 1 + c i+1 i h i 1 + h i+1 Cuando el intervalo de mayor altura es el primero, h i 1 = 0 Cuando el intervalo de mayor altura es el último, h i+1 = 0

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15 na na Definición: Me Es aquel valor de la variable que divide a la distribución de frecuencias en dos partes iguales, ordenando previamente los datos Propiedades Es única En su calculo no intervienen todos los datos Siempre es un valor observado de la variable Sea X con media X entonces Y = ax + b = Me Y = a Me X + b

16 na na para datos no agrupados Cálculo para datos no agrupados Pasos x i n i N i F i x 1 n 1 N 1 F x k n k N k 1 Ordenamos los datos de menor a mayor Calculamos frecuencias absolutas y relativas acumuladas

17 na na para datos no agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas { xi si N i 1 < N 2 Me X = < N i x i +x i+1 2 si N i = N 2 Con frecuencias relativas acumuladas { xi si F i 1 < 0,5 < F i Me X = x i +x i+1 2 si F i = 0,5

18 na na para datos agrupados Cálculo para datos agrupados Pasos I i n i c i h i N i F i L 0 L 1 n 1 c 1 h 1 N 1 F L k 1 L k n k c k h k N k F k Ordenamos los intervalos de menor a mayor Calculamos frecuencias absolutas y relativas acumuladas

19 na na para datos agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas ( ) N 2 L Me X = i 1 + c N i 1 i n i si N i 1 < N 2 N i L i si N i = N 2 Con frecuencias relativas acumuladas { ( ) 0,5 Fi 1 L Me X = i 1 + c i f i si F i 1 < 0,5 F i L i si F i = 0,5

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21 Definición: Q j, j = 1, 2, 3 Son los valores de la variable que dividen la distribución en cuatro partes iguales. Su calculo es análogo al de la mediana Q 2 = Me Pasos Ordenar los datos de menor a mayor Calculamos frecuencias absolutas y relativas acumuladas

22 para datos no agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas { xi si N i 1 < j N 4 Q j = < N i x i +x i+1 2 si N i = j N 4 Con frecuencias relativas acumuladas { xi si F i 1 < j 4 Q j = < F i x i +x i+1 2 si F i = j 4

23 para datos agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas ( j N 4 Q j = L i 1 + c N ) i 1 i si N i 1 < j N n i 4 N i Con frecuencias relativas acumuladas ) Q j = L i 1 + c i ( j 4 F i 1 f i si F i 1 < j 4 F i

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25 Definición: D j, j = 1,...,9 Son los valores de la variable que dividen en diez partes iguales a la distribución D 5 = Q 2 = Me Pasos Ordenar los datos de menor a mayor Calculamos frecuencias absolutas y relativas acumuladas

26 para datos no agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas { xi si N i 1 < j N 10 D j = < N i x i +x i+1 2 si N i = j N 10 Con frecuencias relativas acumuladas { xi si F i 1 < j 10 D j = < F i x i +x i+1 2 si F i = j 10

27 para datos agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas ( j N 10 D j = L i 1 + c N ) i 1 i si N i 1 < j N n i 10 N i Con frecuencias relativas acumuladas ( j 10 D j = L i 1 + c F ) i 1 i si F i 1 < j f i 10 F i

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29 Definición: P j, j = 1,...,99 Son los valores de la variable que dividen en cien partes iguales a la distribución Pasos Ordenar los datos de menor a mayor Calculamos frecuencias absolutas y relativas acumuladas

30 para datos no agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas { xi si N i 1 < j N 100 P j = < N i x i +x i+1 2 si N i = j N 100 Con frecuencias relativas acumuladas { xi si F i 1 < j 100 P j = < F i x i +x i+1 2 si F i = j 100

31 para datos agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas ( j N 100 P j = L i 1 + c N ) i 1 i si N i 1 < j N n i 100 N i Con frecuencias relativas acumuladas ( j 100 P j = L i 1 + c F ) i 1 i si F i 1 < j f i 100 F i

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