1º BACH CCSS - MATEMÁTICAS - PROBLEMAS DE ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE UNA VARIABLE ˆ EJERCICIO 25


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1 1º BACH CCSS - MATEMÁTICAS - PROBLEMAS DE ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE UNA VARIABLE ˆ EJERCICIO 24 Dada la siguiente tabla de ingresos: Ingresos mensuales Frecuencia Menos de [1000, 1100) 70 [1100, 1400) 70 [1400, 1600) 90 [1600, 1900) 85 Más de Construye el histograma de frecuencias relativas y el polígono de frecuencias relativas. Calculamos las frecuencias relativas dividiendo las frecuencias entre el número total de casos, que, sumando, sabemos que es 414. Como no todos los intervalos poseen la misma amplitud, debemos hallar la altura de cada rectángulo teniendo en cuenta que el área del rectángulo sea proporcional a cada una de las frecuencias absolutas. Para ello, dividimos cada frecuencia relativa entre el número de veces que es mayor el intervalo correspondiente al menor de todos. Para la última clase podemos suponer que su límite superior es ˆ EJERCICIO 25 Las edades de un grupo de 19 personas aparecen en la siguiente tabla: Edad Nº de personas (a) Halla la media, la moda y la varianza. (b) Halla el rango, la varianza y la desviación típica. (c) ¾Cuántos años tiene la persona de mayor edad, de entre las que se encuentran en el 40% de las personas con menor edad? Sea la tabla: x i f i F i x i f i x i F i

2 (a) Media: x = = 18 años; moda: Mo = 19 años; mediana: la mitad de los datos es 2 = 9 5, por tanto Me = 19 años. (b) Rango: = 7 años; varianza: s 2 = = 4 95 años 2 ; desviación típica: s = 2 22 años. (c) Hay que calcular el percentil 40. Por debajo de esos años estará el 40% de las personas más jóvenes. 40N 100 = = 7 6 P 40 = 18 años. La persona de más edad entre las que se encuentran en el 40 % de las más jóvenes tiene 18 años. ˆ EJERCICIO 26 Los pesos, en kg, de 20 estudiantes son: (a) Agrupa los datos en cinco clases de igual amplitud. (b) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias absolutas correspondientes. (c) Halla la media de los datos. (d) Calcula los cuartiles primero y tercero. (a) Agrupamos los datos y formamos la tabla. [L i, L s ) x i f i F i x i f i [37'5-42'5) [42'5-47'5) [47'5-52'5) [52'5-57'5) [57'5-62'5) (b) (c) x = = (d) N 4 = 20 4 Q 1 = 55. = 5 el cuartil primero está en la segunda clase. Tomaremos como valor aproximado su marca de clase, 3N 4 = 60 4 = 15 el cuartil tercero está en la cuarta clase. Tomaremos como valor aproximado su marca de clase, Q 3 = 55. ˆ EJERCICIO 27 El siguiente diagrama de barras muestra las calicaciones obtenidas por un grupo de 50 alumnos.

3 Construye el histograma correspondiente a las calicaciones numéricas y calcula la calicación media, teniendo en cuenta el siguiente cuadro de equivalencias: Suspenso Aprobado Notable Sobresaliente [0, 5) [5, 7) [7, 9) [9, 10) Como no todos los intervalos poseen la misma amplitud, debemos hallar la altura de cada rectángulo, teniendo en cuenta que el área del rectángulo sea proporcional a cada una de las frecuencias absolutas. [L i, L s ) x i f i x i f i Base del rectángulo Altura del rectángulo (f i /base) [0, 5) 2' [5, 7) [7, 9) [9, 10) 9' ˆ EJERCICIO 28 Una ocina bancaria ha tabulado las cantidades de dinero que retiran de sus cuentas 100 clientes en un determinado día. Euros [0, 120) [120, 240) [240, 360) [360, 480) [480, 600) Cliente Halla: (a) La cantidad media de dinero retirado por cliente. (b) ¾Qué porcentaje de clientes retiraron fondos por encima de la mediana?

4 (c) Halla los cuartiles Q 1, Q 2 y Q 3. Formamos la tabla: Euros x i f i F i x i F i [0 120) [ ) [ ) [ ) [ ) (a) x = = 222 (b) Por la denición de mediana, el porcentaje es el 50 %. (c) N 4 = = 25 Q 1 = 60 N 2 = = 50 Q 2 = 180 3N 4 = = 75 Q 3 = 300 ˆ EJERCICIO 29 Un especialista en pediatría obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez: Meses Niños (a) Dibuja el polígono de frecuencias. (b) Calcula la mediana, la moda y la varianza. (c) Halla el rango y el rango intercuartílico. (a) (b) Formamos la siguiente tabla: x i f i F i x 2 i f i x i f i x 2 i N 2 = 50 2 = 25 Me = 12 meses

5 Mo = 12 meses x = = 12 2 meses s 2 = = 1 68 meses (c) Rango: 15 9 = 6 meses N 4 = 50 4 = 12 5 Q 1 = 11 meses; 3N 4 = = 37 5 Q 3 = 13 meses Rango intercuartílico: = 2 meses ˆ EJERCICIO 30 Se han lanzado dos dados 120 veces y cada vez se ha anotado su suma. Los resultados vienen reejados en la siguiente tabla: Sumas Nº de veces (a) Calcula la media x y la desviación típica s. (b) Halla el porcentaje de valores comprendido en intervalos (x s, x + s), (x 2s, x + 2s) y (x 3s, x + 3s). Formamos la tabla: x i f i x 2 i x i f i x 2 i f i (a) x = = 7 025; s 2 = = 5 924; s = = 2 43 (b) Los valores comprendidos en (x s, x + s)=(4 595, 9 455) son los correspondientes a las sumas 5, 6, 7, 8 y 9, que dan un total de 79 valores, es decir el = 65 83% de los datos. Igualmente, los valores comprendidos en (x 2s, x + 2s)=(2 165, ) son los correspondientes a las sumas 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11, que dan un total de 113 valores, es decir el = 94 17% de los datos. Por último, los valores comprendidos en (x 3s, x + 3s)=( 0 265, ) son el 100% de los datos. ˆ EJERCICIO 31 Se ha pasado un test de 79 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se reeja en la siguiente tabla: Respuestas Nº de personas [0,10) 40 [10,20) 60 [20,30) 75 [30,40) 90 [40,50) 105 [50,60) 85 [60,70) 80 [70,80) 65 (a) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias de las frecuencias absolutas.

6 (b) Halla la media y la desviación típica de respuestas correctas. (c) Calcula la mediana y el primer cuartil. ¾Qué miden estos parámetros? (a) (b) Formamos la tabla: [L i, L s ) x i x 2 i f i F i f i x i f i x 2 i [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) x = = preguntas correctas; s 2 = = ; s = = preguntas correctas (c) = 300, que está en la quinta clase, por lo que tomaremos como valor de la mediana Me = = 150, que está en la tercera clase, por lo que tomaremos como valor del primer cuartil Q 1 = 25. ˆ EJERCICIO 32 En una encuesta sobre tráco se ha preguntado a 1000 conductores sobre el número de multas recibidas que ha sido mayor o igual a cero y menor o igual a 5. Al efectuar la tabla correspondiente, algún número ha desaparecido, por lo que disponemos de la siguiente información: Nº de conductores Número de multas Halla: (a) La media. (b) La mediana. (c) La moda. (d) La desviación típica. (e) Los cuartiles primero y tercero. (f) El rango intercuartílico. El dato desconocido es: 1000 ( ) = 210. Formamos la tabla:

7 x i f i F i x i f i x 2 i f i (a) x == = 1 98 multas (b) = 500 Me = 2 multas (c) Mo = 1 multa (d) s 2 = = s = = 1 58 multas (e) N 4 = = 250 Q 1 = 1 multa 3N 4 = = 250 Q 3 = 3 multas (f) Rango intercuartílico: Q 3 Q 1 = 3 1 = 2 multas ˆ EJERCICIO 33 Un dentista observa el número de caries de cada uno de los 100 niños de un colegio. La información resumida aparece en la siguiente tabla: Número de caries Frecuencia absolutas Frecuencia relativa ' '20 2 x z '15 4 y 0'05 (a) Completa la tabla obteniendo los valores x, y, z. (b) Dibuja un diagrama de sectores. (c) Realiza un diagrama de barras. (d) Calcula el número medio de caries. (e) Calcula los cuartiles. (a) La suma de las frecuencias relativas ha de ser igual a 1: z = 1 z = La frecuencia relativa de un dato es igual a su frecuencia absoluta dividida por la suma de las frecuencias absolutas, que el enunciado nos dice que es 100. x 100 = 0 35 x = 35 ; y 100 = 0 05 y = 5

8 (b) (c) (d) Formamos la tabla: x i f i F i x i f i x = = 1 55 caries (e) N 4 = 25 Q 1 = 0 caries; N 2 = 50 Q 2 = 2 caries; 3N 4 = 75 Q 3 = 2 caries ˆ EJERCICIO 34 El número de horas que 20 trabajadores perdieron por bajas médicas el año pasado es el siguiente: (a) Construye la tabla de frecuencias agrupando los datos en intervalos de amplitud 10, indicando también las frecuencias absolutas y relativas acumuladas. (b) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias de las frecuencias relativas.

9 (c) Halla la media de días no trabajados por trabajador. (d) Halla el rango intercuartílico. (e) Calcula el coeciente de variación. (a) [L i, L s ) x i f i F i h i H i x i f i x 2 i f i [0,10) '2 0' [10,20) '35 0' [20,30) '25 0' [30,40) '1 0' [40,50) '05 0' [50,60) ' [60,70) ' (b) (c) x = = 21 5 bajas (d) N 4 = 5 el primer cuartil está en el intervalo [10,20) Q 1 = 15 3N 4 = 15 el tercer cuartil está en el intervalo [20,30) Q 3 = 25 Por tanto, el rango intercuartílico es: RI = Q 3 Q 1 = = 10. (e) s 2 = = s = s 2 = bajas CV = s x = ˆ EJERCICIO 35 Las sumas de los puntos obtenidos al lanzar 20 veces dos dados son: (a) Calcula las frecuencias absolutas y relativas. (b) Halla la media, la mediana y la moda. (c) Calcula la varianza y la desviación típica. (a) Formamos la tabla:

10 x i f i F i h i x i f i x 2 i f i ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (b) x = = 6 55; Me = Q 2 = 7, pues N 2 (c) s 2 = = 5 25 s = 5 25 = ˆ EJERCICIO 36 = 10; Mo = 7. La tabla adjunta muestra el presupuesto dedicado a acción social de varios municipio de una determinada comunidad autónoma. Presupuesto (en miles de euros) Número de municipios [0,30) 8 [30,60) 12 [60,90) 19 [90,120) 21 [120,150) 14 [150,180) 6 (a) Representa grácamente la distribución mediante un histograma y su polígono de frecuencias. (b) Halla la mediana e interpreta este parámetro. (c) Calcula la media. (d) ¾Cuál es la proporción de municipios que dedican a acción social más de euros y menos de ? (a) Formamos la tabla: [L i, L s ) x i f i F i x i F i [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) [150,180)

11 (b) La mitad de los datos en 40. Como los 40 se alcanzan en la cuarta clase, tomaremos como aproximación a la mediana la marca de clase, es decir, Me = 105. La mitad de los datos son inferiores a 105, y la otra mitad, superiores. (c) x = = (d) Hemos de considerar las frecuencias correspondientes a las clases 2ª, 3ª, 4ª y 5ª: = 66. Con una simple proporción, x = = 82 5%. Es decir, aproximadamente el 83% de los municipios dedica a acción social más de euros y menos de ˆ EJERCICIO 37 Se ha realizado un test, compuesto de 10 preguntas, a 40 alumnos de un grupo, con los siguientes resultados: Respuestas [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) Alumnos (a) Representa grácamente la distribución. (b) Calcula el valor de la moda. (c) Halla la varianza y la desviación típica. (d) ¾A partir de qué dato se encuentra el 70% de los alumnos que han obtenido la mejor nota? (a) Formamos la tabla: [L i, L s ) x i f i F i x i f i x 2 i f i [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10)

12 (b) La clase modal es [4,6). Tomaremos como aproximación de la moda la marca de clase: Mo = 5. (c) x = = 5; s2 = = 5 2 s = 5 2 = N (d) Hay que calcular el percentil 30: 100 = = 12 el percentil 30 se encuentra en la clase [2,4). Tomamos como P 30 la marca de clase, P 30 = 3. ˆ EJERCICIO 38 La tabla adjunta muestra las distancias, en cm, alcanzadas por un grupo de alumnos en salto de longitud. Longitud del salto (cm) Número de alumnos [100,110) 3 [110,120) 7 [120,130) 15 [130,140) 16 [140,150) 6 [150,160) 2 (a) Halla la media, la mediana y la moda. (b) Halla el rango y el rango intercuartílico, e interpreta este último parámetro. (a) Formamos la tabla: [L i, L s ) x i f i F i x i f i [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) [150,160) x = = N 2 = 49 2 = La mediana se encuentra en la clase [120,130), por tanto Me = 125. La clase modal es [130,140), por tanto Mo = 135. (b) R = = 60 N 4 = 49 4 = el primer cuartil se alcanza en [120,130), por tanto Q 1 = 125 cm.

13 3N 4 = = el tercer cuartil se alcanza en [130,140), por tanto Q 2 = 135 cm. RI = Q 3 Q 1 = = 10 cm. El 50% de los datos de la zona central están en tan solo 10 cm. ˆ EJERCICIO 39 Se ha contado el número de ocinas municipales de información al consumidor abiertas al público en 25 ciudades. Estos son los datos: (a) Construye la tabla de frecuencias y representa el diagrama de barras. (b) Halla la media. (c) Halla la desviación media. (d) Calcula la varianza, la desviación típica y el coeciente de variación. (e) Calcula la mediana y el rango intercuartílico. (a) x i f i F i h i H i x i f i x i x x i x f i x 2 i f i '04 0' ' '24 0' '28 0' '16 0' '08 0' '04 0' ' (b) x = = 4 (c) D x = = 1 2 (d) s 2 = = 2 56 s = 2 56 = 1 6 CV = s x = = 0 4 (e) La mediana corresponde al dato número 13 de la serie ordenada, por tanto: Me = 4. N 4 = 25 4 = 6 25 el primer cuartil corresponde al séptimo dato de la serie ordenada; por tanto Q 1 = 3 cm. 3N 4 = = el tercer cuartil corresponde al dato decimonoveno de la serie; por tanto Q 3 = 5 cm. RI = Q 3 Q 1 = 5 3 = 2 ˆ EJERCICIO 40 Al estudiar la distribución de la edad en una población se obtuvieron los resultados siguientes: Edad (en años) [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) Número de individuos 15? Como se ve, se ha extraviado el dato correspondiente al intervalo [20,40). (a) ¾Cuál será el valor de este dato si la media es de 35 años? (b) ¾Cuál será el valor de este dato si la mediana es de 30 años? (c) ¾Cuál será la desviación típica si el dato es 16? (a) Formamos la tabla: [L i, L s ) x i f i x i f i [0,20) [20,40) 30 f 2 30 f 2 [40,60) [60,80) f f 2 Sea f 2 la frecuencia del intervalo [20,40) si la edad media fuera 35 años. Entonces:

14 35 = f2 46+f f 2 = f 2 f 2 = 82 (b) Formamos la tabla: [L i, L s ) x i f i F i [0,20) [20,40) 30 f f 2 [40,60) f 2 [60,80) f f 2 La mediana es el dato central de la distribución. Como M = 30, se deduce que: 46+f f 2 62 f (c) Formamos la tabla: [L i, L s ) x i f i x i f i x 2 i f i [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) f x = = 40 32; s 2 = = s = ˆ EJERCICIO 41 Un centro de enseñanza tiene tres grupos de 1º de Bachillerato. La nota media de los alumnos del grupo A es de 5'7 puntos, la de los del grupo B es de 5'6, y la de los del grupo C es de 5'5. En el grupo A hay 30 alumnos, y se sabe que en el grupo C hay 5 alumnos más que en el grupo B. Si la nota media de todos los alumnos de 1º de Bachillerato del centro es de 5'6 puntos, ¾cuántos alumnos de 1º de Bachillerato hay en el mismo? Sea b el número de alumnos del grupo B, b + 5 será el número de alumnos del grupo C. 5 6 = b 5 6+(b+5) b+(b+5) 5 6 = b 35+2b b = b b = 25 El número de alumnos de 1º de Bachillerato en el Instituto es: = 85.

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